905: サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）である

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サブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）はサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。
• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$\{S_{\beta }\subseteq S|\beta \in B\}$: $B\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
${\cup }_{\beta \in B}{S}_{\beta }=S\setminus {\cap }_{\beta \in B}(S\setminus S_{\beta })$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $S\setminus S_{\beta }$を任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題内の$S_{\beta }$として取る。

ステップ1:

$S\setminus (S\setminus S_{\beta })=S_{\beta }$。

任意のセット（集合）に対して、任意の、アンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちのコンプリメント（補集合）たちのユニオン（和集合）は、それらサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のコンプリメント（補集合）であるという命題内の$S_{\beta }$として、$S\setminus S_{\beta }$を取ろう、すると、${\cup }_{\beta \in B}(S\setminus (S\setminus S_{\beta }))=S\setminus {\cap }_{\beta \in B}(S\setminus S_{\beta })$、しかし、${\cup }_{\beta \in B}(S\setminus (S\setminus S_{\beta }))={\cup }_{\beta \in B}{S}_{\beta }$、したがって、${\cup }_{\beta \in B}{S}_{\beta }=S\setminus {\cap }_{\beta \in B}(S\setminus S_{\beta })$。

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参考資料

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