916: セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）である

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セット（集合）マイナスセット（集合）とセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であることの記述/証明

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話題

About: セット（集合）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 自然言語記述
• 3: 証明
• 4: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、セット（集合）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のセット（集合）マイナス任意のセット（集合）と任意のセット（集合）のインターセクション（共通集合）は第1セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）マイナス第2セット（集合）と第3セット（集合）のインターセクション（共通集合）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$S_1$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_2$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
$S_3$: $\in \{\text{ 全てのセット（集合）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$(S_1\setminus S_2)\cap S_3=(S_1\cap S_3)\setminus (S_2\cap S_3)$
//

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2: 自然言語記述

任意のセット（集合）たち$S_1,S_2,S_3$に対して、$(S_1\setminus S_2)\cap S_3=(S_1\cap S_3)\setminus (S_2\cap S_3)$。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $(S_1\setminus S_2)\cap S_3\subseteq (S_1\cap S_3)\setminus (S_2\cap S_3)$であることを見る; ステップ2: $(S_1\cap S_3)\setminus (S_2\cap S_3)\subseteq (S_1\setminus S_2)\cap S_3$であることを見る。

ステップ1:

任意の$p\in (S_1\setminus S_2)\cap S_3$に対して、$p\in S_1$および$p\in S_3$、したがって、$p\in S_1\cap S_3$、$p\notin S_2$、$p\notin S_2\cap S_3$、したがって、$p\in (S_1\cap S_3)\setminus (S_2\cap S_3)$。

ステップ2:

任意の$p\in (S_1\cap S_3)\setminus (S_2\cap S_3)$に対して、$p\in S_1$、$p\notin S_2\cap S_3$、$p\in S_3$であるから、$p\notin S_2$、$p\in S_1\setminus S_2$、したがって、$p\in (S_1\setminus S_2)\cap S_3$。

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4: 注

$(S_1\setminus S_2)\cup S_3=(S_1\cup S_3)\setminus (S_2\cup S_3)$は必ずしも成立しない、$(S_1\cup S_3)\setminus (S_2\cup S_3)\subseteq (S_1\setminus S_2)\cup S_3$は成立するが、別の記事内で証明されたとおり。

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参考資料

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