2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有することの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(q\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(G_p\): \(\in \{G \text{ の全ての } p \text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}\)
\(G_q\): \(\in \{G \text{ の全ての } q \text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G_p \neq G_q\)
\(\implies\)
\(G_p \cap G_q = \{1\}\)
//
\(p = q\)は除外されていない。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: ある\(g \in (G_p \cap G_q) \setminus \{1\}\)があったと仮定する; ステップ2: \(G_p = \langle g \rangle = G_q\)ということになることを見る、矛盾。
ステップ1:
ある\(g \in (G_p \cap G_q) \setminus \{1\}\)があったと仮定しよう。
ステップ2:
\(\langle g \rangle = G_p\)、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって。
\(\langle g \rangle = G_q\)、同様に。
したがって、\(G_p = \langle g \rangle = G_q\)、矛盾。
したがって、ある\(g \in (G_p \cap G_q) \setminus \{1\}\)があったという仮定が間違っている、そして、\((G_p \cap G_q) \setminus \{1\} = \emptyset\)、それが意味するのは、\(G_p \cap G_q = \{1\}\)。
