991: 異なるプライムナンバー（素数）オーダーたちを持つ2つのサブグループ（部分群）たちに対して、もしも、サブグループ（部分群）たちのジェネレーター（生成元）たちがコミュータティブ（可換）である場合、プライムナンバー（素数）たちのプロダクト（積）-オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を構成できる

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異なるプライムナンバー（素数）オーダーたちを持つ2つのサブグループ（部分群）たちに対して、もしも、サブグループ（部分群）たちのジェネレーター（生成元）たちがコミュータティブ（可換）である場合、プライムナンバー（素数）たちのプロダクト（積）-オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を構成できることの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
• 読者は、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題を認めている。
• 読者は、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題を認めている。
• 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のグループ（群）および任意の異なるプライムナンバー（素数）オーダーたちを持つ2つのそのサブグループ（部分群）たちに対して、もしも、当該サブグループ（部分群）たちの任意のジェネレーター（生成元）たちがコミュータティブ（可換）である場合、当該プライムナンバー（素数）たちのプロダクト（積）-オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を構成できるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$G$: $\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$
$p$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
$q$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
$G_p$: $\in \{G\text{ の全ての }p\text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}$, $=\{g_p,...,g_p^p=1\}$
$G_q$: $\in \{G\text{ の全ての }q\text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}$, $=\{g_q,...,g_q^q=1\}$
$G_{pq}$: $=\{g_p{g}_q,...,(g_p{g}_q{)}^{pq}\}$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$p\ne q$
$\wedge$
$g_p{g}_q=g_q{g}_p$
)
$⟹$
(
$G_{pq}\in \{G\text{ の全ての }(pq)\text{ -オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）たち }\}$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }j,k\in \mathbb{N}\text{ で以下を満たすもの、つまり、 }1\le j<p\text{ かつ }1\le k<q(\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}=G_{pq})$
)
//

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2: 注

$G_p$は不可避に$\{g_p,...,g_p^p=1\}$の形を持つ、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって。$G_q$に対しても同様である。

任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって、$G_p$または$G_q$は任意の$g_p^j$または$g_q^k$、ここで、$1\le j<p$および$1\le k<q$、によってジェネレート（生成）されたとみなすことができる、しかし、$g_p^j{g}_q^k=g_q^k{g}_q^j$はどのみち成立する、なぜなら、$g_p^j{g}_q^k=g_p^{j-1}{g}_p{g}_q{g}_q^{k-1}=g_p^{j-1}{g}_q{g}_p{g}_q^{k-1}=g_p^{j-2}{g}_p{g}_q{g}_p{g}_q^{k-1}=g_p^{j-2}{g}_q{g}_p{g}_p{g}_q^{k-1}=g_p^{j-2}{g}_q{g}_p^2{g}_q^{k-1}=...=g_q{g}_p^j{g}_q^{k-1}=g_q^2{g}_p^j{g}_q^{k-2}=...=g_q^k{g}_p^j$。

"ステートメント（言明）たち"の後半は、別の$(pq)$-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）を単にある別のジェネレーター（生成元）を選ぶことのみによって持つことはできないと言っている: 本命題は、$g_p^j{g}_q^k$はある$(pq)$-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）をジェネレート（生成）するが、実のところ、当該サブグループ（部分群）は$G_{pq}$と違わないと言う。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $G_{pq}$は$(pq)$-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）であることを見る; ステップ2: $\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}=G_{pq}$であることを見る。

ステップ1:

$G_{pq}$は$(pq)$-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）であることを見よう。

$1\in G_{pq}$: $(g_p{g}_q{)}^{pq}=g_p^{pq}{g}_q^{pq}=(g_p^p{)}^q(g_q^q{)}^p=1^q{1}^p=1$。

各$(g_p{g}_q{)}^j,(g_p{g}_q{)}^k\in G_{pq}$に対して、$(g_p{g}_q{)}^j(g_p{g}_q{)}^k=(g_p{g}_q{)}^{j+k}$。$j+k=mpq+l$、ここで、$m,l\in \mathbb{N}$および$0\le l<pq$。$(g_p{g}_q{)}^{j+k}=(g_p{g}_q{)}^{mpq+l}=(g_p{g}_q{)}^{mpq}(g_p{g}_q{)}^l=((g_p{g}_q{)}^{pq}{)}^m(g_p{g}_q{)}^l=(g_p^{pq}{g}_q^{pq}{)}^m(g_p{g}_q{)}^l=((g_p^p{)}^q(g_q^q{)}^p{)}^m(g_p{g}_q{)}^l=(1^q{1}^p{)}^m(g_p{g}_q{)}^l=1^m(g_p{g}_q{)}^l=(g_p{g}_q{)}^l$。$1\le l<pq$である時、$(g_p{g}_q{)}^l\in G_{pq}$、そして、$l=0$である時、$(g_p{g}_q{)}^0=1=(g_p{g}_q{)}^{pq}\in G_{pq}$。したがって、$(g_p{g}_q{)}^j(g_p{g}_q{)}^k\in G_{pq}$、いずれにせよ。

各$(g_p{g}_q{)}^j\in G_{pq}$に対して、$(g_p{g}_q{)}^{pq-j}\in G_{pq}$、そして、$(g_p{g}_q{)}^j(g_p{g}_q{)}^{pq-j}=(g_p{g}_q{)}^{pq}=1$および$(g_p{g}_q{)}^{pq-j}(g_p{g}_q{)}^j=(g_p{g}_q{)}^{pq}=1$。

アソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲$G$内で成立する。

したがって、$G_{pq}$は$G$のサブグループ（部分群）である。

$\{g_p{g}_q,...,(g_p{g}_q{)}^{pq}\}$は互いに素であることを見よう。

$(g_p{g}_q{)}^j=(g_p{g}_q{)}^k$と仮定しよう、ここで、$1\le j\le k\le pq$、一般性を失わうことなく。$1=(g_p{g}_q{)}^{k-j}$、$g_p^{k-j}=g_q^{j-k}$、なぜなら、$g_p{g}_q=g_q{g}_p$、$=1$、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題によって、したがって、$k-j=mp=nq$、それが意味するのは、$k-j=0$: $k-j$は$pq$の倍数である、しかし、$k-j<pq$。したがって、$j=k$。

したがって、$G_{pq}$は$(pq)$-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）である。

ステップ2:

$\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}=G_{pq}$であることを見よう。

$\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}$は$(pq)$-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）である、ステップ1によって、なぜなら、$g_p^j$も$G_p$をジェネレート（生成）し$g_q^k$も$G_q$をジェネレート（生成）する、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって、そして、ステップ1は、$\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}$に対して適用される、単に、$g_p$および$g_q$をそれぞれ$g_p^j$および$g_q^k$で置き換えて。

以下を満たす各$r,s\in \mathbb{N}$、つまり、$1\le r\le p$および$1\le s\le q$に対して、$g_p^r{g}_q^s\in G_{pq}$であることを見よう、なぜなら、そうであれば、$\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}$の各要素はその形のものであるから、$\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}\subseteq G_{pq}$であることになる。

以下を満たすある$n,m\in \mathbb{Z}$、つまり、$r-s=np+mq$、がある、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題によって、なぜなら、$\mathbb{Z}$はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である、$gcd(p,q)=\{1\}$、$1\mathbb{Z}=p\mathbb{Z}+q\mathbb{Z}$。

$l:=r-np=s+mq$としよう。すると、$(g_p{g}_q{)}^l=g_p^l{g}_q^l=g_p^{r-np}{g}_q^{s+mq}=g_p^r{g}_p^{-np}{g}_q^s{g}_q^{mq}=g_p^r(g_p^p{)}^{-n}{g}_q^s(g_q^q{)}^m=g_p^r{1}^{-n}{g}_q^s{1}^m=g_p^r{g}_q^s$。

したがって、$g_p^r{g}_q^s\in G_{pq}$。

したがって、$\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}\subseteq G_{pq}$。

ファイナイト（有限）セット（集合）たちとして$|\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}|=|G_{pq}|$であるから、$\{g_p^j{g}_q^k,...,(g_p^j{g}_q^k{)}^{pq}\}=G_{pq}$。

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参考資料

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