異なるプライムナンバー（素数）オーダーたちを持つ2つのサブグループ（部分群）たちに対して、もしも、サブグループ（部分群）たちのジェネレーター（生成元）たちがコミュータティブ（可換）である場合、プライムナンバー（素数）たちのプロダクト（積）-オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を構成できることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
- 読者は、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題を認めている。
- 読者は、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題を認めている。
- 読者は、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）および任意の異なるプライムナンバー（素数）オーダーたちを持つ2つのそのサブグループ（部分群）たちに対して、もしも、当該サブグループ（部分群）たちの任意のジェネレーター（生成元）たちがコミュータティブ（可換）である場合、当該プライムナンバー（素数）たちのプロダクト（積）-オーダーのシクリックサブグループ（循環部分群）を構成できるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(q\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(G_p\): \(\in \{G \text{ の全ての } p \text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}\), \(= \{g_p, ..., g_p^p = 1\}\)
\(G_q\): \(\in \{G \text{ の全ての } q \text{ -オーダーサブグループ（部分群）たち }\}\), \(= \{g_q, ..., g_q^q = 1\}\)
\(G_{p q}\): \(= \{g_p g_q, ..., (g_p g_q)^{p q}\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(p \neq q\)
\(\land\)
\(g_p g_q = g_q g_p\)
)
\(\implies\)
(
\(G_{p q} \in \{G \text{ の全ての } (p q) \text{ -オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall j, k \in \mathbb{N} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } 1 \le j \lt p \text{ かつ } 1 \le k \lt q (\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\} = G_{p q})\)
)
//
2: 注
\(G_p\)は不可避に\(\{g_p, ..., g_p^p = 1\}\)の形を持つ、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって。\(G_q\)に対しても同様である。
任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって、\(G_p\)または\(G_q\)は任意の\(g_p^j\)または\(g_q^k\)、ここで、\(1 \le j \lt p\)および\(1 \le k \lt q\)、によってジェネレート（生成）されたとみなすことができる、しかし、\(g_p^j g_q^k = g_q^k g_q^j\)はどのみち成立する、なぜなら、\(g_p^j g_q^k = g_p^{j - 1} g_p g_q g_q^{k - 1} = g_p^{j - 1} g_q g_p g_q^{k - 1} = g_p^{j - 2} g_p g_q g_p g_q^{k - 1} = g_p^{j - 2} g_q g_p g_p g_q^{k - 1} = g_p^{j - 2} g_q g_p^2 g_q^{k - 1} = ... = g_q g_p^j g_q^{k - 1} = g_q^2 g_p^j g_q^{k - 2} = ... = g_q^k g_p^j\)。
"ステートメント（言明）たち"の後半は、別の\((p q)\)-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）を単にある別のジェネレーター（生成元）を選ぶことのみによって持つことはできないと言っている: 本命題は、\(g_p^j g_q^k\)はある\((p q)\)-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）をジェネレート（生成）するが、実のところ、当該サブグループ（部分群）は\(G_{p q}\)と違わないと言う。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(G_{p q}\)は\((p q)\)-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）であることを見る; ステップ2: \(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\} = G_{p q}\)であることを見る。
ステップ1:
\(G_{p q}\)は\((p q)\)-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）であることを見よう。
\(1 \in G_{p q}\): \((g_p g_q)^{p q} = g_p^{p q} g_q^{p q} = (g_p^p)^q (g_q^q)^p = 1^q 1^p = 1\)。
各\((g_p g_q)^j, (g_p g_q)^k \in G_{p q}\)に対して、\((g_p g_q)^j (g_p g_q)^k = (g_p g_q)^{j + k}\)。\(j + k = m p q + l\)、ここで、\(m, l \in \mathbb{N}\)および\(0 \le l \lt p q\)。\((g_p g_q)^{j + k} = (g_p g_q)^{m p q + l} = (g_p g_q)^{m p q} (g_p g_q)^l = ((g_p g_q)^{p q})^m (g_p g_q)^l = (g_p^{p q} g_q^{p q})^m (g_p g_q)^l = ((g_p^p)^q (g_q^q)^p)^m (g_p g_q)^l = (1^q 1^p)^m (g_p g_q)^l = 1^m (g_p g_q)^l = (g_p g_q)^l\)。\(1 \le l \lt p q\)である時、\((g_p g_q)^l \in G_{p q}\)、そして、\(l = 0\)である時、\((g_p g_q)^0 = 1 = (g_p g_q)^{p q} \in G_{p q}\)。したがって、\((g_p g_q)^j (g_p g_q)^k \in G_{p q}\)、いずれにせよ。
各\((g_p g_q)^j \in G_{p q}\)に対して、\((g_p g_q)^{p q - j} \in G_{p q}\)、そして、\((g_p g_q)^j (g_p g_q)^{p q - j} = (g_p g_q)^{p q} = 1\)および\((g_p g_q)^{p q - j} (g_p g_q)^j = (g_p g_q)^{p q} = 1\)。
アソシアティビティ（結合性）は成立する、なぜなら、それは、周囲\(G\)内で成立する。
したがって、\(G_{p q}\)は\(G\)のサブグループ（部分群）である。
\(\{g_p g_q, ..., (g_p g_q)^{p q}\}\)は互いに素であることを見よう。
\((g_p g_q)^j = (g_p g_q)^k\)と仮定しよう、ここで、\(1 \le j \le k \le p q\)、一般性を失わうことなく。\(1 = (g_p g_q)^{k - j}\)、\(g_p^{k - j} = g_q^{j - k}\)、なぜなら、\(g_p g_q = g_q g_p\)、\(= 1\)、任意の2つの異なるプライムナンバー（素数）-オーダーサブグループ（部分群）たちは1のみを共有するという命題によって、したがって、\(k - j = m p = n q\)、それが意味するのは、\(k - j = 0\): \(k - j\)は\(p q\)の倍数である、しかし、\(k - j \lt p q\)。したがって、\(j = k\)。
したがって、\(G_{p q}\)は\((p q)\)-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）である。
ステップ2:
\(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\} = G_{p q}\)であることを見よう。
\(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\}\)は\((p q)\)-オーダーシクリックサブグループ（循環部分群）である、ステップ1によって、なぜなら、\(g_p^j\)も\(G_p\)をジェネレート（生成）し\(g_q^k\)も\(G_q\)をジェネレート（生成）する、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題によって、そして、ステップ1は、\(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\}\)に対して適用される、単に、\(g_p\)および\(g_q\)をそれぞれ\(g_p^j\)および\(g_q^k\)で置き換えて。
以下を満たす各\(r, s \in \mathbb{N}\)、つまり、\(1 \le r \le p\)および\(1 \le s \le q\)に対して、\(g_p^r g_q^s \in G_{p q}\)であることを見よう、なぜなら、そうであれば、\(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\}\)の各要素はその形のものであるから、\(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\} \subseteq G_{p q}\)であることになる。
以下を満たすある\(n, m \in \mathbb{Z}\)、つまり、\(r - s = n p + m q\)、がある、任意のプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）は最大共通ディバイザー（因子）たちドメインであり、プリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）上の各2要素たちに対して、最大共通ディバイザー（因子）たちの内の各々は、当該2要素たちによるプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）たちのサム（合計）がそれによってプリンシパル（主要）アイディアル（イデアル）であるというものであるという命題によって、なぜなら、\(\mathbb{Z}\)はプリンシパル（主要な）インテグラルドメイン（整域）である、\(gcd (p, q) = \{1\}\)、\(1 \mathbb{Z} = p \mathbb{Z} + q \mathbb{Z}\)。
\(l := r - n p = s + m q\)としよう。すると、\((g_p g_q)^l = g_p^l g_q^l = g_p^{r - n p} g_q^{s + m q} = g_p^r g_p^{- n p} g_q^s g_q^{m q} = g_p^r (g_p^p)^{- n} g_q^s (g_q^q)^m = g_p^r 1^{- n} g_q^s 1^m = g_p^r g_q^s\)。
したがって、\(g_p^r g_q^s \in G_{p q}\)。
したがって、\(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\} \subseteq G_{p q}\)。
ファイナイト（有限）セット（集合）たちとして\(\vert \{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\} \vert = \vert G_{p q} \vert\)であるから、\(\{g_p^j g_q^k, ..., (g_p^j g_q^k)^{p q}\} = G_{p q}\)。
