989: プライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）で、1を除く各要素はグループ（群）をジェネレート（生成）する

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プライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）で、1を除く各要素はグループ（群）をジェネレート（生成）することの記述/証明

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話題

About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
• 読者は、ラグランジュの定理を認めている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$p$: $\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
$G$: $\in \{\text{ 全ての }p\text{ -オーダーグループ（群）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$G\in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}$
$\wedge$
$\mathrm{\forall }g\in G\setminus \{1\}(⟨g⟩=G)$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: 各$g\in G\setminus \{1\}$を取り、$⟨g⟩=G$であることを見る、ラグランジュの定理によって。

ステップ1:

$g\in G\setminus \{1\}$は任意であるとしよう: そうした$g$がある、なぜなら、$2\le |G|=p$。

$⟨g⟩$は$G$のサブグループ（部分群）である、そして、ラグランジュの定理によって、$|⟨g⟩|=p\text{ または }1$。しかし、それは$1$ではありえない、なぜなら、それは、$g=1$を意味することになる。したがって、$|⟨g⟩|=p$。

したがって、$⟨g⟩=G$、それが意味するのは、$G$はシクリック（循環）であるということ。

$g$は恣意的であるから、$1$を除く$G$の各要素は$G$をジェネレート（生成）する。

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参考資料

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