プライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）で、1を除く各要素はグループ（群）をジェネレート（生成）することの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、要素によるシクリックグループ（循環群）の定義を知っている。
- 読者は、ラグランジュの定理を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のプライムナンバー（素数）-オーダーグループ（群）はシクリック（循環）であり、1を除く各要素は当該グループ（群）をジェネレート（生成）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(p\): \(\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
\(G\): \(\in \{\text{ 全ての } p \text{ -オーダーグループ（群）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(G \in \{\text{ 全てのシクリックグループ（循環群）たち }\}\)
\(\land\)
\(\forall g \in G \setminus \{1\} (\langle g \rangle = G)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(g \in G \setminus \{1\}\)を取り、\(\langle g \rangle = G\)であることを見る、ラグランジュの定理によって。
ステップ1:
\(g \in G \setminus \{1\}\)は任意であるとしよう: そうした\(g\)がある、なぜなら、\(2 \le \vert G \vert = p\)。
\(\langle g \rangle\)は\(G\)のサブグループ（部分群）である、そして、ラグランジュの定理によって、\(\vert \langle g \rangle \vert = p \text{ または } 1\)。しかし、それは\(1\)ではありえない、なぜなら、それは、\(g = 1\)を意味することになる。したがって、\(\vert \langle g \rangle \vert = p\)。
したがって、\(\langle g \rangle = G\)、それが意味するのは、\(G\)はシクリック（循環）であるということ。
\(g\)は恣意的であるから、\(1\)を除く\(G\)の各要素は\(G\)をジェネレート（生成）する。
