993: リング（環）でインバース（逆）たちを持つもののキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）である

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リング（環）でインバース（逆）たちを持つもののキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックを知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリング（環）でインバース（逆）たちを持つもののキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}$で以下を満たすもの、つまり、$\mathrm{\forall }r\in R\setminus \{0\}(\mathrm{\exists }{r}^{-1}\in R(r{r}^{-1}=r^{-1}r=1))$
//

ステートメント（言明）たち:
$Ch(R)=0\vee Ch(R)\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
//

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2: 注

$R$はコミュータティブ（可換）である必要はない、したがって、$R$はフィールド（体）である必要はない。

任意のフィールド（体）はリング（環）でインバース（逆）たちを持つ、したがって、任意のフィールド（体）のキャラクタリスティックは$0$またはプライムナンバー（素数）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $Ch(R)\ne 0$であると仮定する; ステップ2: $Ch(R)=mn$、ここで、$m,n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$、であると仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

$Ch(R)\ne 0$であると仮定しよう。

ステップ2:

$Ch(R)$はプライムナンバー（素数）ではなかったと仮定しよう。

それが意味するのは、$Ch(R)=mn$、ここで、$m,n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$。

$(mn)\cdot 1=m\cdot (n\cdot 1)=0$、ここで、$n\cdot 1\ne 0$。

$n\cdot 1$はあるインバース（逆）$(n\cdot 1{)}^{-1}\in R$を持つ。

$(n\cdot 1{)}^{-1}(m\cdot (n\cdot 1))=(n\cdot 1{)}^{-1}0=0$、しかし、左辺は、$(n\cdot 1{)}^{-1}((n\cdot 1)+...+(n\cdot 1))=(n\cdot 1{)}^{-1}(n\cdot 1)+...+(n\cdot 1{)}^{-1}(n\cdot 1)=1+...+1=m\cdot 1$、したがって、$m\cdot 1=0$、$m<mn$である$mn$が最小のそうしたものであったことに反する矛盾。

したがって、$Ch(R)$はプライムナンバー（素数）である。

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参考資料

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