リング（環）でインバース（逆）たちを持つもののキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックを知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリング（環）でインバース（逆）たちを持つもののキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環）たち }\}\)で以下を満たすもの、つまり、\(\forall r \in R \setminus \{0\} (\exists r^{-1} \in R (r r^{-1} = r^{-1} r = 1))\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ch (R) = 0 \lor Ch (R) \in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
//
2: 注
\(R\)はコミュータティブ（可換）である必要はない、したがって、\(R\)はフィールド（体）である必要はない。
任意のフィールド（体）はリング（環）でインバース（逆）たちを持つ、したがって、任意のフィールド（体）のキャラクタリスティックは\(0\)またはプライムナンバー（素数）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ch (R) \neq 0\)であると仮定する; ステップ2: \(Ch (R) = m n\)、ここで、\(m, n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\)、であると仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(Ch (R) \neq 0\)であると仮定しよう。
ステップ2:
\(Ch (R)\)はプライムナンバー（素数）ではなかったと仮定しよう。
それが意味するのは、\(Ch (R) = m n\)、ここで、\(m, n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\)。
\((m n) \cdot 1 = m \cdot (n \cdot 1) = 0\)、ここで、\(n \cdot 1 \neq 0\)。
\(n \cdot 1\)はあるインバース（逆）\((n \cdot 1)^{-1} \in R\)を持つ。
\((n \cdot 1)^{-1} (m \cdot (n \cdot 1)) = (n \cdot 1)^{-1} 0 = 0\)、しかし、左辺は、\((n \cdot 1)^{-1} ((n \cdot 1) + ... + (n \cdot 1)) = (n \cdot 1)^{-1} (n \cdot 1) + ... + (n \cdot 1)^{-1} (n \cdot 1) = 1 + ... + 1 = m \cdot 1\)、したがって、\(m \cdot 1 = 0\)、\(m \lt m n\)である\(m n\)が最小のそうしたものであったことに反する矛盾。
したがって、\(Ch (R)\)はプライムナンバー（素数）である。
