インテグラルドメイン（整域）のキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）のキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(Ch (R) = 0 \lor Ch (R) \in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}\)
//
2: 注1
任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である、したがって、任意のフィールド（体）のキャラクタリスティックは\(0\)またはプライムナンバー（素数）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(Ch (R) \neq 0\)であると仮定する; ステップ2: \(Ch (R) = m n\)、ここで、\(m, n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\)、であると仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(Ch (R) \neq 0\)であると仮定しよう。
Step 2: ステップ2:
\(Ch (R)\)はプライムナンバー（素数）でなかったと仮定しよう。
それが意味するのは、\(Ch (R) = m n\)、ここで、\(m, n \in \mathbb{N} \setminus \{0, 1\}\)。
\((m n) \cdot 1 = (m \cdot 1) (n \cdot 1) = 0\)、ディストリビューション（分配）法則によって。
\(m \cdot 1 = 0\)または\(n \cdot 1 = 0\)、\(m, n \lt m n\)である\(m n\)が最小のそうしたものであったという仮定に反する矛盾。
したがって、\(Ch (R)\)はプライムナンバー（素数）である。
4: 注2
\((m \cdot 1) (n \cdot 1)\)と\(m \cdot (n \cdot 1)\)は別のことたちを意味する、しかし、それらは結局同じ値を持つ、ディストリビューション（分配）法則がゆえに: \((m \cdot 1) (n \cdot 1) = (1 + ... + 1) (1 + ... + 1)\)、ここで、\(m \cdot (n \cdot 1) = (1 + ... + 1) + ... + (1 + ... + 1)\)。
