994: インテグラルドメイン（整域）のキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）である

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インテグラルドメイン（整域）のキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であることの記述/証明

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話題

About: リング（環）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注1
• 3: 証明
• 4: 注2

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開始コンテキスト

• 読者は、リング（環）のキャラクタリスティックの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）のキャラクタリスティックは0またはプライムナンバー（素数）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$Ch(R)=0\vee Ch(R)\in \{\text{ 全てのプライムナンバー（素数）たち }\}$
//

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2: 注1

任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）である、したがって、任意のフィールド（体）のキャラクタリスティックは$0$またはプライムナンバー（素数）である。

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3: 証明

全体戦略: ステップ1: $Ch(R)\ne 0$であると仮定する; ステップ2: $Ch(R)=mn$、ここで、$m,n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$、であると仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

$Ch(R)\ne 0$であると仮定しよう。

Step 2: ステップ2:

$Ch(R)$はプライムナンバー（素数）でなかったと仮定しよう。

それが意味するのは、$Ch(R)=mn$、ここで、$m,n\in \mathbb{N}\setminus \{0,1\}$。

$(mn)\cdot 1=(m\cdot 1)(n\cdot 1)=0$、ディストリビューション（分配）法則によって。

$m\cdot 1=0$または$n\cdot 1=0$、$m,n<mn$である$mn$が最小のそうしたものであったという仮定に反する矛盾。

したがって、$Ch(R)$はプライムナンバー（素数）である。

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4: 注2

$(m\cdot 1)(n\cdot 1)$と$m\cdot (n\cdot 1)$は別のことたちを意味する、しかし、それらは結局同じ値を持つ、ディストリビューション（分配）法則がゆえに: $(m\cdot 1)(n\cdot 1)=(1+...+1)(1+...+1)$、ここで、$m\cdot (n\cdot 1)=(1+...+1)+...+(1+...+1)$。

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参考資料

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