1009: ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）

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ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$V^{\ast }$: $=L(V:F)$
$J$: $\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}$
$B$: $\in \{V\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$, $=\{b_j|j\in J\}$
$\ast B^{\ast }$: $\in \{V^{\ast }\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$, $=\{b^j|j\in J\}$
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コンディションたち:
$\mathrm{\forall }j\in J(\mathrm{\forall }k\in J(b^j(b_k)={\delta }_k^j))$
//

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2: 注

$B^{\ast }$は本当に$V^{\ast }$に対するベーシス（基底）であることを見よう。

$w\in V^{\ast }$は任意のものであるとしよう。各$j\in J$に対して、$w_j:=w(b_j)\in F$。各$v\in V$に対して、$v=v^j{b}_j$、そして、$w(v)=w(v^j{b}_j)=v^{j}w(b_j)=v^j{w}_j$。$w_j{b}^j(v)=w_j{b}^j(v^k{b}_k)=w_j{v}^k{b}^j(b_k)=w_j{v}^k{\delta }_k^j=w_j{v}^j$。したがって、$w=w_j{b}^j$、それが意味するのは、$B^{\ast }$は$V^{\ast }$をスパンする（張る）ということ。

$c_j{b}^j=0$だとしよう。$c_j{b}^j(b_k)=0(b_k)=0$、しかし、$c_j{b}^j(b_k)=c_j{\delta }_k^j=c_k$、したがって、$c_k=0$、各$k\in J$に対して、それが意味するのは、$B^{\ast }$はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるということ。

$V^{\ast }$は、不可避に、$V$のディメンション（次元）を持つ。

各$w\in V^{\ast }$に対して、$w$の$B^{\ast }$に関するコンポーネントたちは$w(b_1),...,w(b_d)$である。

$V$はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であることが肝要である: そうでなければ、$w_j{b}^j$は意味をなさないかもしれない、なぜなら、イニフィニット（無限）数の$w_j$たちが非ゼロかもしれない。

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参考資料

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