ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ベクトルたちスペース（空間）のコベクトルたち（デュアル）スペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）に対するベーシス（基底）の、コベクトルたち（デュアル）スペース（空間）に対するデュアルベーシス（基底）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( V^*\): \(= L (V: F)\)
\( J\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）インデックスセット（集合）たち }\}\)
\( B\): \(\in \{V \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b_j \vert j \in J\}\)
\(*B^*\): \(\in \{V^* \text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}\), \(= \{b^j \vert j \in J\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall j \in J (\forall k \in J (b^j (b_k) = \delta^j_k))\)
//
2: 注
\(B^*\)は本当に\(V^*\)に対するベーシス（基底）であることを見よう。
\(w \in V^*\)は任意のものであるとしよう。各\(j \in J\)に対して、\(w_j := w (b_j) \in F\)。各\(v \in V\)に対して、\(v = v^j b_j\)、そして、\(w (v) = w (v^j b_j) = v^j w (b_j) = v^j w_j\)。\(w_j b^j (v) = w_j b^j (v^k b_k) = w_j v^k b^j (b_k) = w_j v^k \delta^j_k = w_j v^j\)。したがって、\(w = w_j b^j\)、それが意味するのは、\(B^*\)は\(V^*\)をスパンする（張る）ということ。
\(c_j b^j = 0\)だとしよう。\(c_j b^j (b_k) = 0 (b_k) = 0\)、しかし、\(c_j b^j (b_k) = c_j \delta^j_k = c_k\)、したがって、\(c_k = 0\)、各\(k \in J\)に対して、それが意味するのは、\(B^*\)はリニア（線形）にインディペンデント（独立）であるということ。
\(V^*\)は、不可避に、\(V\)のディメンション（次元）を持つ。
各\(w \in V^*\)に対して、\(w\)の\(B^*\)に関するコンポーネントたちは\(w (b_1), ..., w (b_d)\)である。
\(V\)はファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）であることが肝要である: そうでなければ、\(w_j b^j\)は意味をなさないかもしれない、なぜなら、イニフィニット（無限）数の\(w_j\)たちが非ゼロかもしれない。
