1010: テンソルたちのテンソルプロダクト（積）

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テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義

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話題

About: ベクトルたちスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するテンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$\{V_{1,1},...,V_{1,k_1},V_{2,1},...,V_{2,k_2}\}$: $\subseteq \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$\ast \otimes$: $:L(V_{1,1},...,V_{1,k_1}:F)\times L(V_{2,1},...,V_{2,k_2}:F)\to L(V_{1,1},...,V_{1,k_1},V_{2,1},...,V_{2,k_2}:F),(t^1,t^2)\mapsto t^1\otimes t^2$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }{v}_{j,m}\in V_{j,m}(t^1\otimes t^2(v_{1,1},...,v_{1,k_1},v_{2,1},...,v_{2,k_2})=t^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})t^2(v_{2,1},...,v_{2,k_2}))$
//

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2: 注

各$t^j$は$L(V_{j,1},...,V_{j,k_j}:F)$内にいる必要がある、一般的な$L(V_{j,1},...,V_{j,k_j}:W)$ではなく、なぜなら、そうでなければ、マルチプリケーション（積）$t^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})t^2(v_{2,1},...,v_{2,k_2})$は意味をなさないだろう。

本当に$t^1\otimes t^2\in L(V_{1,1},...,V_{1,k_1},V_{2,1},...,V_{2,k_2}:F)$であることを見よう。

それは、$:V_{1,1}\times ...\times V_{1,k_1}\times V_{2,1}\times ...\times V_{2,k_2}\to F$である。

$t^1\otimes t^2(...,r{v}_{1,m}+r^{\prime }{v}_{1,m}^{\prime },...)=t^1(...,r{v}_{1,m}+r^{\prime }{v}_{1,m}^{\prime },...)t^2(...)=(r{t}^1(...,v_{1,m},...)+r^{\prime }{t}^1(...,v_{1,m}^{\prime },...))t^2(...)=r{t}^1(...,v_{1,m},...)t^2(...)+r^{\prime }{t}^1(...,v_{1,m}^{\prime },...)t^2(...)=r{t}^1\otimes t^2(...,v_{1,m},...)+r^{\prime }{t}^1\otimes t^2(...,v_{j,m}^{\prime },...)$。

$t^1\otimes t^2(...,r{v}_{2,m}+r^{\prime }{v}_{2,m}^{\prime },...)=t^1(...)t^2(...,r{v}_{2,m}+r^{\prime }{v}_{2,m}^{\prime },...)=t^1(...)(r{t}^2(...,v_{2,m},...)+r^{\prime }{t}^2(...,v_{2,m}^{\prime },...))=r{t}^1(...)t^2(...,v_{2,m},...)+r^{\prime }{t}^1(...)t^2(...,v_{2,m}^{\prime },...)=r{t}^1\otimes t^2(...,v_{2,m},...)+r^{\prime }{t}^1\otimes t^2(...,v_{2,m}^{\prime },...)$。

テンソルたちのテンソルプロダクト（積）はアソシアティブ（結合的）であることを見よう。

$(t^1\otimes t^2)\otimes t^3(v_{1,1},...,v_{1,k_1},v_{2,1},...,v_{2,k_2},v_{3,1},...,v_{3,k_3})=(t^1\otimes t^2)(v_{1,1},...,v_{1,k_1},v_{2,1},...,v_{2,k_2})t^3(v_{3,1},...,v_{3,k_3})=t^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})t^2(v_{2,1},...,v_{2,k_2})t^3(v_{3,1},...,v_{3,k_3})$。

$t^1\otimes (t^2\otimes t^3)(v_{1,1},...,v_{1,k_1},v_{2,1},...,v_{2,k_2},v_{3,1},...,v_{3,k_3})=t^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})(t^2\otimes t^3)(v_{2,1},...,v_{2,k_2},v_{3,1},...,v_{3,k_3})=t^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})t^2(v_{2,1},...,v_{2,k_2})t^3(v_{3,1},...,v_{3,k_3})$。

したがって、$t^1\otimes ...\otimes t^n:=(...((t^1\otimes t^2)\otimes t^3)...\otimes t^{n-1})\otimes t^n$であるところ、それはいかなる方法でも結合できる。

テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のあるプロパティを見よう。

各$t^j,t^{\prime j}\in L(V_{j,1},...,V_{j,k_j}:F)$および各$r,r^{\prime }\in F$に対して、$t^1\otimes ...\otimes (r{t}^j+r^{\prime }{t}^{\prime j})\otimes ...\otimes t^l=r{t}^1\otimes ...\otimes t^j\otimes ...\otimes t^l+r^{\prime }{t}^1\otimes ...\otimes t^{\prime j}\otimes ...\otimes t^l$: $t^1\otimes ...\otimes (r^{\prime }{t}^j+r^{\prime }{t}^{\prime j})\otimes ...\otimes t^l(v_{1,1},...,v_{l,k_l})=t^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})...(r{t}^j+r^{\prime }{t}^{\prime j})(v_{j,1},...,v_{j,k_j})...t^l(v_{l,1},...,v_{l,k_l}))=t^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})...(r{t}^j(v_{j,1},...,v_{j,k_j})+r^{\prime }{t}^{\prime j}(v_{j,1},...,v_{j,k_j}))...t^l(v_{l,1},...,v_{l,k_l}))=r{t}^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})...t^j(v_{j,1},...,v_{j,k_j})...t^l(v_{l,1},...,v_{l,k_l}))+r^{\prime }{t}^1(v_{1,1},...,v_{1,k_1})...t^{\prime j}(v_{j,1},...,v_{j,k_j})...t^l(v_{l,1},...,v_{l,k_l}))=(r{t}^1\otimes ...\otimes t^j\otimes ...\otimes t^l+r^{\prime }{t}^1\otimes ...\otimes t^{\prime j}\otimes ...\otimes t^l)(v_{1,1},...,v_{l,k_l})$。

本概念を、フィールド（体）上方の$k$個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の概念と混同しないように、後者は、スペース（空間）たちのプロダクト（積）でありベクトルたちスペース（空間）である一方で、本概念はテンソルたちのプロダクト（積）でありテンソルである。.

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参考資料

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