テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*\otimes\): \(: L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}: F) \times L (V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: F) \to L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: F), (t^1, t^2) \mapsto t^1 \otimes t^2\)
//
コンディションたち:
\(\forall v_{j, m} \in V_{j, m} (t^1 \otimes t^2 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}, v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}) = t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) t^2 (v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}))\)
//
2: 注
各\(t^j\)は\(L (V_{j, 1}, ..., V_{j, k_j}: F)\)内にいる必要がある、一般的な\(L (V_{j, 1}, ..., V_{j, k_j}: W)\)ではなく、なぜなら、そうでなければ、マルチプリケーション（積）\(t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) t^2 (v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2})\)は意味をなさないだろう。
本当に\(t^1 \otimes t^2 \in L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, V_{2, 1}, ..., V_{2, k_2}: F)\)であることを見よう。
それは、\(: V_{1, 1} \times ... \times V_{1, k_1} \times V_{2, 1} \times ... \times V_{2, k_2} \to F\)である。
\(t^1 \otimes t^2 (..., r v_{1, m} + r' v'_{1, m}, ...) = t^1 (..., r v_{1, m} + r' v'_{1, m}, ...) t^2 (...) = (r t^1 (..., v_{1, m}, ...) + r' t^1 (..., v'_{1, m}, ...)) t^2 (...) = r t^1 (..., v_{1, m}, ...) t^2 (...) + r' t^1 (..., v'_{1, m}, ...) t^2 (...) = r t^1 \otimes t^2 (..., v_{1, m}, ...) + r' t^1 \otimes t^2 (..., v'_{j, m}, ...)\)。
\(t^1 \otimes t^2 (..., r v_{2, m} + r' v'_{2, m}, ...) = t^1 (...) t^2 (..., r v_{2, m} + r' v'_{2, m}, ...) = t^1 (...) (r t^2 (..., v_{2, m}, ...) + r' t^2 (..., v'_{2, m}, ...)) = r t^1 (...) t^2 (..., v_{2, m}, ...) + r' t^1 (...) t^2 (..., v'_{2, m}, ...) = r t^1 \otimes t^2 (..., v_{2, m}, ...) + r' t^1 \otimes t^2 (..., v'_{2, m}, ...)\)。
テンソルたちのテンソルプロダクト（積）はアソシアティブ（結合的）であることを見よう。
\((t^1 \otimes t^2) \otimes t^3 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}, v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}, v_{3, 1}, ..., v_{3, k_3}) = (t^1 \otimes t^2) (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}, v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}) t^3 (v_{3, 1}, ..., v_{3, k_3}) = t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) t^2 (v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}) t^3 (v_{3, 1}, ..., v_{3, k_3})\)。
\(t^1 \otimes (t^2 \otimes t^3) (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}, v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}, v_{3, 1}, ..., v_{3, k_3}) = t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) (t^2 \otimes t^3) (v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}, v_{3, 1}, ..., v_{3, k_3}) = t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) t^2 (v_{2, 1}, ..., v_{2, k_2}) t^3 (v_{3, 1}, ..., v_{3, k_3})\)。
したがって、\(t^1 \otimes ... \otimes t^n := (...((t^1 \otimes t^2) \otimes t^3) ... \otimes t^{n - 1}) \otimes t^n\)であるところ、それはいかなる方法でも結合できる。
テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のあるプロパティを見よう。
各\(t^j, t'^j \in L (V_{j, 1}, ..., V_{j, k_j}: F)\)および各\(r, r' \in F\)に対して、\(t^1 \otimes ... \otimes (r t^j + r' t'^j) \otimes ... \otimes t^l = r t^1 \otimes ... \otimes t^j \otimes ... \otimes t^l + r' t^1 \otimes ... \otimes t'^j \otimes ... \otimes t^l\): \(t^1 \otimes ... \otimes (r' t^j + r' t'^j) \otimes ... \otimes t^l (v_{1, 1}, ..., v_{l, k_l}) = t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... (r t^j + r' t'^j) (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) ... t^l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) = t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... (r t^j (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) + r' t'^j (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j})) ... t^l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) = r t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... t^j (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) ... t^l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) + r' t^1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... t'^j (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) ... t^l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) = (r t^1 \otimes ... \otimes t^j \otimes ... \otimes t^l + r' t^1 \otimes ... \otimes t'^j \otimes ... \otimes t^l) (v_{1, 1}, ..., v_{l, k_l})\)。
本概念を、フィールド（体）上方の\(k\)個のベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の概念と混同しないように、後者は、スペース（空間）たちのプロダクト（積）でありベクトルたちスペース（空間）である一方で、本概念はテンソルたちのプロダクト（積）でありテンソルである。.
