テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
...
\( \{V_{l, 1}, ..., V_{l, k_l}\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
...
\( L (V_{l, 1}, ..., V_{l, k_l}: F)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\( f_1\): \(\in L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}: F)\)
...
\( f_l\): \(\in L (V_{l, 1}, ..., V_{l, k_l}: F)\)
\(*f_1 \otimes ... \otimes f_l\): \(\in L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, ..., V_{l, 1}, ..., V_{l, k_l}: F)\)
//
コンディションたち:
\(\forall v_{j, m} \in V_{j, m} (f_1 \otimes ... \otimes f_l (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}, ..., v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l}) = f_1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... f_l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l}))\)
//
2: 注
各\(f_j\)は\(L (V_{j, 1}, ..., V_{j, k_j}: F)\)内にある必要がある、一般的な\(L (V_{j, 1}, ..., V_{j, k_j}: W)\)内にではなく、なぜなら、そうでなければ、マルチプリケーション（積）\(f_1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... f_l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})\)は意味をなさないことになる。
本当に\(f_1 \otimes ... \otimes f_l \in L (V_{1, 1}, ..., V_{1, k_1}, ..., V_{l, 1}, ..., V_{l, k_l}: F)\)であることを見よう。
それは、\(: V_{1, 1} \times ... \times V_{1, k_1} \times ... \times V_{l, 1} \times ... \times V_{l, k_l} \to F\)である。
\(f_1 \otimes ... \otimes f_l (..., r v_{j, m} + r' v'_{j, m}, ...) = f_1 (...) ... f_j (..., r v_{j, m} + r' v'_{j, m}, ...) ... f_l (...) = f_1 (...) ... (r f_j (..., v_{j, m}, ...) + r' f_j (..., v'_{j, m}, ...)) ... f_l (...) = r f_1 (...) ... f_j (..., v_{j, m}, ...) ... f_l (...) + r' f_1 (...) ... f_j (..., v'_{j, m}, ...)) ... f_l (...) = r f_1 \otimes ... \otimes f_l (..., v_{j, m}, ...) + r' f_1 \otimes ... \otimes f_l (..., v'_{j, m}, ...)\)。
テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のあるプロパティを見よう。
各\(f_j, f'_j \in \in L (V_{j, 1}, ..., V_{j, k_j}: F)\)および各\(r, r' \in F\)に対して、\(f_1 \otimes ... \otimes (r f_j + r' f'_j) \otimes ... \otimes f_l = r f_1 \otimes ... \otimes f_j \otimes ... \otimes f_l + r' f_1 \otimes ... \otimes f'_j \otimes ... \otimes f_l\): \(f_1 \otimes ... \otimes (r' f_j + r' f'_j) \otimes ... \otimes f_l (v_{1, 1}, ..., v_{l, k_l}) = f_1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... (r f_j + r' f'_j) (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) ... f_l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) = f_1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... (r f_j (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) + r' f'_j (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j})) ... f_l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) = r f_1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... f_{j, 1} (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) ... f_l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) + r' f_1 (v_{1, 1}, ..., v_{1, k_1}) ... f'_j (v_{j, 1}, ..., v_{j, k_j}) ... f_l (v_{l, 1}, ..., v_{l, k_l})) = (r f_1 \otimes ... \otimes f_j \otimes ... \otimes f_l + r' f_1 \otimes ... \otimes f'_j \otimes ... \otimes f_l) (v_{1, 1}, ..., v_{l, k_l})\)。
本概念を、kベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）の概念と混同しないように、後者は、スペース（空間）たちのプロダクト（積）でありベクトルたちスペース（空間）である一方で、本概念はテンソルたちのプロダクト（積）でありテンソルである。
