2025年2月9日日曜日

1000: 有限数のリアルナンバー（実数）たちで1 (2)に等しいまたはそれより大きいものたちに対して、リアルナンバー（実数）たちの和マイナス有限数プラス1はリアルナンバー（実数）たちのプロダクト（積）に等しいまたはそれより小さい（単により小さい）

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有限数のリアルナンバー（実数）たちで1 (2)に等しいまたはそれより大きいものたちに対して、リアルナンバー（実数）たちの和マイナス有限数プラス1はリアルナンバー（実数）たちのプロダクト（積）に等しいまたはそれより小さい（単により小さい）ことの記述/証明

話題


About: アナリシス（分析）

この記事の目次

開始コンテキスト

ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意の有限数の任意のリアルナンバー（実数）たちで1 (2)に等しいまたはそれより大きいものたちに対して、当該リアルナンバー（実数）たちの和マイナス当該有限数プラス1は当該リアルナンバー（実数）たちのプロダクト（積）に等しいまたはそれより小さい（単により小さい）という命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

本体

1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
{r1,...,rk}: ⊆R
//

ステートメント（言明）たち:
(
∀j∈{1,...,k}(1≤rj)
⟹
r1+...+rk−k+1≤r1...rk
)
∧
(
∀j∈{1,...,k}(2≤rj)
⟹
r1+...+rk−k+1<r1...rk
)
//

2: 注


特別の場合として、rjたちはナチュラルナンバー（自然数）たちであるよう取ることができる。

3: 証明


全体戦略: kに関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それを∀j∈{1,...,k}(1≤rj)ケースに対して証明する; ステップ2: それを∀j∈{1,...,k}(2≤rj)ケースに対して証明する。

ステップ1:

ステップ1戦略: 当該不等式の両辺たちをrkのファンクション（関数）たちf1(rk):=r1+...+rk−k+1およびf2(rk):=r1...rkとみなす、r1,...,rk−1をコンスタント（定数）たちとみなして、そして、f1(1)≤f2(1)およびdf1/drk(rk)≤df2/drk(rk)であることを見る。

∀j∈{1,...,k}(1≤rj)であると仮定しよう。

k=2というケースのことを考えよう。

r1+r2−2+1≤r1r2？

両辺たちをr2のファンクション（関数）たちと考えよう、r1をコンスタントとみなして: f1(r2):=r1+r2−2+1およびf2(r2):=r1r2。

f1(1)=r1+1−2+1=r1≤r11=f2(1)。

df1/dr2(r2)=1≤r1=df2/dr2(r2)、なぜなら、1≤r1。

それが含意するのは、r1+r2−2+1≤r1r2。

k=2,...,l−1に対して、r1+...+rk−k+1≤r1...rkであると仮定しよう。

r1+...+rl−l+1≤r1...rlであることを見よう。

f1(rl):=r1+...+rl−l+1およびf2(rl):=r1...rlとしよう、前と同様に。

f1(1)=r1+...+rl−1+1−l+1=r1+...+rl−1−(l−1)+1≤r1...rl−1=r1...rl−11=f2(1)、インダクション（帰納）仮定によって。

df1/drl(rl)=1≤r1...rl−1=df2/drl(rl)。

それが含意するのは、r1+...+rl−l+1≤r1...rl。

したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、r1+...+rk−k+1≤r1...rk、各2≤kに対して。

ステップ2:

ステップ2戦略: 当該不等式の両辺たちをrkのファンクション（関数）たちf1(rk):=r1+...+rk−k+1およびf2(rk):=r1...rkとみなす、r1,...,rk−1をコンスタント（定数）たちとみなして、そして、f1(2)<f2(2)およびdf1/drk(rk)<df2/drk(rk)であることを見る。

∀j∈{1,...,k}(2≤rj)であると仮定しよう。

k=2というケースのことを考えよう。

r1+r2−2+1<r1r2？

両辺たちをr2のファンクション（関数）たちと考えよう、r1をコンスタントとみなして: f1(r2):=r1+r2−2+1およびf2(r2):=r1r2。

f1(2)=r1+2−2+1=r1+1<r12=f2(2)、なぜなら、1<r1から、r1+1<r1+r1=2r1。

df1/dr2(r2)=1<r1=df2/dr2(r2)、なぜなら、1<r1。

それが含意するのは、r1+r2−2+1<r1r2。

k=2,...,l−1.に対して、r1+...+rk−k+1<r1...rkであると仮定しよう。

Let us see that r1+...+rl−l+1<r1...rl. r1+...+rl−l+1<r1...rlであることを見よう。

f1(rl):=r1+...+rl−l+1およびf2(rl):=r1...rlであるとしよう、前と同様。

f1(2)=r1+...+rl−1+2−l+1=r1+...+rl−1−(l−1)+1+1<r1...rl−1+1<r1...rl−12=f2(2)、インダクション（帰納）仮定によって、そして、1<r1...rl−1から、r1...rl−1+1<r1...rl−1+r1...rl−1=2r1...rl−1。

df1/drl(rl)=1<r1...rl−1=df2/drl(rl)。

それが含意するのは、r1+...+rl−l+1<r1...rl。

したがって、インダクション（帰納）仮定によって、r1+...+rk−k+1<r1...rk、各2≤kに対して。

参考資料
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