有限数のリアルナンバー（実数）たちで1 (2)に等しいまたはそれより大きいものたちに対して、リアルナンバー（実数）たちの和マイナス有限数プラス1はリアルナンバー（実数）たちのプロダクト（積）に等しいまたはそれより小さい（単により小さい）ことの記述/証明
話題
About: アナリシス（分析）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ファンクション（関数）のパーシャルデリバティブ（偏微分係数）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の有限数の任意のリアルナンバー（実数）たちで1 (2)に等しいまたはそれより大きいものたちに対して、当該リアルナンバー（実数）たちの和マイナス当該有限数プラス1は当該リアルナンバー（実数）たちのプロダクト（積）に等しいまたはそれより小さい（単により小さい）という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{r_1, ..., r_k\}\): \(\subseteq \mathbb{R}\)
//
ステートメント（言明）たち:
(
\(\forall j \in \{1, ..., k\} (1 \le r_j)\)
\(\implies\)
\(r_1 + ... + r_k - k + 1 \le r_1 ... r_k\)
)
\(\land\)
(
\(\forall j \in \{1, ..., k\} (2 \le r_j)\)
\(\implies\)
\(r_1 + ... + r_k - k + 1 \lt r_1 ... r_k\)
)
//
2: 注
特別の場合として、\(r_j\)たちはナチュラルナンバー（自然数）たちであるよう取ることができる。
3: 証明
全体戦略: \(k\)に関してインダクティブ（帰納的）に証明する; ステップ1: それを\(\forall j \in \{1, ..., k\} (1 \le r_j)\)ケースに対して証明する; ステップ2: それを\(\forall j \in \{1, ..., k\} (2 \le r_j)\)ケースに対して証明する。
ステップ1:
ステップ1戦略: 当該不等式の両辺たちを\(r_k\)のファンクション（関数）たち\(f_1 (r_k) := r_1 + ... + r_k - k + 1\)および\(f_2 (r_k) := r_1 ... r_k\)とみなす、\(r_1, ..., r_{k - 1}\)をコンスタント（定数）たちとみなして、そして、\(f_1 (1) \le f_2 (1)\)および\(d f_1 / d r_k (r_k) \le d f_2 / d r_k (r_k)\)であることを見る。
\(\forall j \in \{1, ..., k\} (1 \le r_j)\)であると仮定しよう。
\(k = 2\)というケースのことを考えよう。
\(r_1 + r_2 - 2 + 1 \le r_1 r_2\)？
両辺たちを\(r_2\)のファンクション（関数）たちと考えよう、\(r_1\)をコンスタントとみなして: \(f_1 (r_2) := r_1 + r_2 - 2 + 1\)および\(f_2 (r_2) := r_1 r_2\)。
\(f_1 (1) = r_1 + 1 - 2 + 1 = r_1 \le r_1 1 = f_2 (1)\)。
\(d f_1 / d r_2 (r_2) = 1 \le r_1 = d f_2 / d r_2 (r_2)\)、なぜなら、\(1 \le r_1\)。
それが含意するのは、\(r_1 + r_2 - 2 + 1 \le r_1 r_2\)。
\(k = 2, ..., l - 1\)に対して、\(r_1 + ... + r_k - k + 1 \le r_1 ... r_k\)であると仮定しよう。
\(r_1 + ... + r_l - l + 1 \le r_1 ... r_l\)であることを見よう。
\(f_1 (r_l) := r_1 + ... + r_l - l + 1\)および\(f_2 (r_l) := r_1 ... r_l\)としよう、前と同様に。
\(f_1 (1) = r_1 + ... + r_{l - 1} + 1 - l + 1 = r_1 + ... + r_{l - 1} - (l - 1) + 1 \le r_1 ... r_{l - 1} = r_1 ... r_{l - 1} 1 = f_2 (1)\)、インダクション（帰納）仮定によって。
\(d f_1 / d r_l (r_l) = 1 \le r_1 ... r_{l - 1} = d f_2 / d r_l (r_l)\)。
それが含意するのは、\(r_1 + ... + r_l - l + 1 \le r_1 ... r_l\)。
したがって、インダクションプリンシプル（帰納法）によって、\(r_1 + ... + r_k - k + 1 \le r_1 ... r_k\)、各\(2 \le k\)に対して。
ステップ2:
ステップ2戦略: 当該不等式の両辺たちを\(r_k\)のファンクション（関数）たち\(f_1 (r_k) := r_1 + ... + r_k - k + 1\)および\(f_2 (r_k) := r_1 ... r_k\)とみなす、\(r_1, ..., r_{k - 1}\)をコンスタント（定数）たちとみなして、そして、\(f_1 (2) \lt f_2 (2)\)および\(d f_1 / d r_k (r_k) \lt d f_2 / d r_k (r_k)\)であることを見る。
\(\forall j \in \{1, ..., k\} (2 \le r_j)\)であると仮定しよう。
\(k = 2\)というケースのことを考えよう。
\(r_1 + r_2 - 2 + 1 \lt r_1 r_2\)？
両辺たちを\(r_2\)のファンクション（関数）たちと考えよう、\(r_1\)をコンスタントとみなして: \(f_1 (r_2) := r_1 + r_2 - 2 + 1\)および\(f_2 (r_2) := r_1 r_2\)。
\(f_1 (2) = r_1 + 2 - 2 + 1 = r_1 + 1 \lt r_1 2 = f_2 (2)\)、なぜなら、\(1 \lt r_1\)から、\(r_1 + 1 \lt r_1 + r_1 = 2 r_1\)。
\(d f_1 / d r_2 (r_2) = 1 \lt r_1 = d f_2 / d r_2 (r_2)\)、なぜなら、\(1 \lt r_1\)。
それが含意するのは、\(r_1 + r_2 - 2 + 1 \lt r_1 r_2\)。
\(k = 2, ..., l - 1\).に対して、\(r_1 + ... + r_k - k + 1 \lt r_1 ... r_k\)であると仮定しよう。
Let us see that \(r_1 + ... + r_l - l + 1 \lt r_1 ... r_l\). \(r_1 + ... + r_l - l + 1 \lt r_1 ... r_l\)であることを見よう。
\(f_1 (r_l) := r_1 + ... + r_l - l + 1\)および\(f_2 (r_l) := r_1 ... r_l\)であるとしよう、前と同様。
\(f_1 (2) = r_1 + ... + r_{l - 1} + 2 - l + 1 = r_1 + ... + r_{l - 1} - (l - 1) + 1 + 1 \lt r_1 ... r_{l - 1} + 1 \lt r_1 ... r_{l - 1} 2 = f_2 (2)\)、インダクション（帰納）仮定によって、そして、\(1 \lt r_1 ... r_{l - 1}\)から、\(r_1 ... r_{l - 1} + 1 \lt r_1 ... r_{l - 1} + r_1 ... r_{l - 1} = 2 r_1 ... r_{l - 1}\)。
\(d f_1 / d r_l (r_l) = 1 \lt r_1 ... r_{l - 1} = d f_2 / d r_l (r_l)\)。
それが含意するのは、\(r_1 + ... + r_l - l + 1 \lt r_1 ... r_l\)。
したがって、インダクション（帰納）仮定によって、\(r_1 + ... + r_k - k + 1 \lt r_1 ... r_k\)、各\(2 \le k\)に対して。
