1001: インテグラルドメイン（整域）および非ゼロ要素に対して、要素によるマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はインジェクション（単射）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

インテグラルドメイン（整域）および非ゼロ要素に対して、要素によるマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はインジェクション（単射）であることの記述/証明

---

話題

About: リング（環）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
• 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）およびその任意の非ゼロ要素に対して、当該要素によるマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はインジェクション（単射）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$R$: $\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}$
$r$: $\in R\setminus \{0\}$
$f_r$: $:R\to R,r^{\prime }\mapsto r{r}^{\prime }$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_r\in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}$
//

---

2: 注

$r{r}^{\prime }$を$r^{\prime }r$で置き換えても、何も変わらない、なぜなら、任意のインテグラルドメイン（整域）はコミュータティブ（可換）である。

$f_r$はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）でない、$r=1$でなければ: $f_r(1)=r1=r\ne 1$。

$r=0$である時、$f_r(r^{\prime })=0r^{\prime }=0$、それは、勿論、非インジェクティブ（単射）である。

---

3: 証明

全体戦略: ステップ1: $r^{\prime },r^{″}\in R$を$r^{\prime }\ne r^{″}$を満たすものたちとし、$f_r(r^{\prime })=f_r(r^{″})$であると仮定し、矛盾を見つける。

ステップ1:

$r^{\prime },r^{″}\in R$を、$r^{\prime }\ne r^{″}$を満たす任意のものたちであるとしよう。

$f_r(r^{\prime })=f_r(r^{″})$であると仮定しよう。

$r{r}^{\prime }=r{r}^{″}$および$r(r^{\prime }-r^{″})=0$。$R$はインテグラルドメイン（整域）であるから、$r=0$または$r^{\prime }-r^{″}=0$、しかし、$r\ne 0$、したがって、$r^{\prime }-r^{″}=0$、したがって、$r^{\prime }=r^{″}$、矛盾。

したがって、$f_r(r^{\prime })\ne f_r(r^{″})$。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>