インテグラルドメイン（整域）および非ゼロ要素に対して、要素によるマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はインジェクション（単射）であることの記述/証明
話題
About: リング（環）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、インテグラルドメイン（整域）の定義を知っている。
- 読者は、インジェクション（単射）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のインテグラルドメイン（整域）およびその任意の非ゼロ要素に対して、当該要素によるマルチプリケーション（乗法）マップ（写像）はインジェクション（単射）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのインテグラルドメイン（整域）たち }\}\)
\(r\): \(\in R \setminus \{0\}\)
\(f_r\): \(: R \to R, r' \mapsto r r'\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_r \in \{\text{ 全てのインジェクション（単射）たち }\}\)
//
2: 注
\(r r'\)を\(r' r\)で置き換えても、何も変わらない、なぜなら、任意のインテグラルドメイン（整域）はコミュータティブ（可換）である。
\(f_r\)はリング（環）ホモモーフィズム（準同形写像）でない、\(r = 1\)でなければ: \(f_r (1) = r 1 = r \neq 1\)。
\(r = 0\)である時、\(f_r (r') = 0 r' = 0\)、それは、勿論、非インジェクティブ（単射）である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(r', r'' \in R\)を\(r' \neq r''\)を満たすものたちとし、\(f_r (r') = f_r (r'')\)であると仮定し、矛盾を見つける。
ステップ1:
\(r', r'' \in R\)を、\(r' \neq r''\)を満たす任意のものたちであるとしよう。
\(f_r (r') = f_r (r'')\)であると仮定しよう。
\(r r' = r r''\)および\(r (r' - r'') = 0\)。\(R\)はインテグラルドメイン（整域）であるから、\(r = 0\)または\(r' - r'' = 0\)、しかし、\(r \neq 0\)、したがって、\(r' - r'' = 0\)、したがって、\(r' = r''\)、矛盾。
したがって、\(f_r (r') \neq f_r (r'')\)。
