999: フィールド（体）から0を除いたものはマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）である

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フィールド（体）から0を除いたものはマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）であることの記述/証明

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話題

About: フィールド（体）
About: グループ（群）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
• 読者は、グループ（群）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のフィールド（体）から0を除いたものはマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}$
$F^{\times }$: $=F\setminus \{0\}$
//

ステートメント（言明）たち:
$F^{\times }\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}$、マルチプリケーション（乗法）に関して
//

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2: 証明

全体戦略: グループ（群）であるための条件たちが満たされていることを確認する; ステップ1: $F^{\times }$は当該マルチプリケーション（乗法）の下に閉じていることを見る; ステップ2: $1\in F^{\times }$であることを見る; ステップ3: 各$r\in F^{\times }$に対して、あるインバース（逆）$r^{-1}\in F^{\times }$がある; ステップ4: 当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）であることを見る。

ステップ1:

$F^{\times }$は当該マルチプリケーション（乗法）の下に閉じていることを見よう。

$r_1,r_2\in F^{\times }$は任意のものであるとしよう。勿論、$r_1{r}_2\in F$であるが、課題は、$r_1{r}_2\ne 0$であることである。$r_1{r}_2=0$であると仮定しよう。$r_1\ne 0$であるから、インバース（逆）$r_1^{-1}$があることになり、$r_2=r_1^{-1}{r}_1{r}_2=r_1^{-1}0=0$、矛盾。したがって、$r_1{r}_2\ne 0$（より簡潔には、その理由は、任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であること）。

ステップ2:

$1\in F^{\times }$。

ステップ3:

各$r\in F^{\times }$に対して、あるインバース（逆）$r^{-1}\in F^{\times }$がある。

フィールド（体）の定義によって、あるインバース（逆）$r^{-1}\in F$がある。課題は、$r^{-1}\ne 0$であること。しかし、$r{r}^{-1}=1\ne 0$であるから、$r^{-1}\ne 0$。

ステップ4:

当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、それは、周囲$F$内でそうであるから。

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参考資料

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