フィールド（体）から0を除いたものはマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）であることの記述/証明
話題
About: フィールド（体）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、フィールド（体）の定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のフィールド（体）から0を除いたものはマルチプリカティブ（乗法）グループ（群）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\(F^{\times}\): \(= F \setminus \{0\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(F^{\times} \in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)、マルチプリケーション（乗法）に関して
//
2: 証明
全体戦略: グループ（群）であるための条件たちが満たされていることを確認する; ステップ1: \(F^{\times}\)は当該マルチプリケーション（乗法）の下に閉じていることを見る; ステップ2: \(1 \in F^{\times}\)であることを見る; ステップ3: 各\(r \in F^{\times}\)に対して、あるインバース（逆）\(r^{-1} \in F^{\times}\)がある; ステップ4: 当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）であることを見る。
ステップ1:
\(F^{\times}\)は当該マルチプリケーション（乗法）の下に閉じていることを見よう。
\(r_1, r_2 \in F^{\times}\)は任意のものであるとしよう。勿論、\(r_1 r_2 \in F\)であるが、課題は、\(r_1 r_2 \neq 0\)であることである。\(r_1 r_2 = 0\)であると仮定しよう。\(r_1 \neq 0\)であるから、インバース（逆）\(r_1^{-1}\)があることになり、\(r_2 = r_1^{-1} r_1 r_2 = r_1^{-1} 0 = 0\)、矛盾。したがって、\(r_1 r_2 \neq 0\)（より簡潔には、その理由は、任意のフィールド（体）はインテグラルドメイン（整域）であること）。
ステップ2:
\(1 \in F^{\times}\)。
ステップ3:
各\(r \in F^{\times}\)に対して、あるインバース（逆）\(r^{-1} \in F^{\times}\)がある。
フィールド（体）の定義によって、あるインバース（逆）\(r^{-1} \in F\)がある。課題は、\(r^{-1} \neq 0\)であること。しかし、\(r r^{-1} = 1 \neq 0\)であるから、\(r^{-1} \neq 0\)。
ステップ4:
当該マルチプリケーション（乗法）はアソシアティブ（結合的）である、なぜなら、それは、周囲\(F\)内でそうであるから。
