トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( T_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\( t_1\): \(\in T_1\)
\( f\): \(: T_1 \setminus \{t_1\} \to T_2\)
\(*t_2\): \(\in T_2\)
//
コンディションたち:
\(\forall N_{t_2} \subseteq T_2 \in \{t_2 \text{ の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\} (\exists N_{t_1} \subseteq T_1 \in \{t_1 \text{ の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\} (f (N_{t_1} \setminus \{t_1\}) \subseteq N_{t_2}))\)
//
複数のコンバージェンス（収束ポイント）たちがあるかもしれない、しかし、ユニークなコンバージェンス（収束ポイント）がある時は、当該コンバージェンス（収束ポイント）は\(lim_{t' \to t_1} f (t')\)と記すことができる。
2: 注
\(T_1\)でなく\(T_1 \setminus \{t_1\}\)を\(f\)のドメイン（定義域）として取ることの意図は、\(f\)は\(t_1\)において定義されているように要求されないということ、"\(f\)は\(t_1\)において定義されてはならない"ということではなく。
実のところ、ある\(f': T_1 \to T_2\)がある時、\(f: T_1 \setminus \{t_1\} \to T_2\)はカノニカル（正典）に\(f'\)のドメイン（定義域）リストリクション（制限）として定義でき、\(f'\)の\(t_1\)に関するコンバージェンス（収束ポイント）は\(f\)の\(t_1\)に関するコンバージェンス（収束ポイント）とみなすことができる。
\(T_1 \setminus \{t_1\}\)のことを考える必要がある理由は、\(f\)が\(t_1\)において定義されていない重要なケースたちがあること: 例えば、\(T_1 = (- \delta, \delta) \subseteq \mathbb{R}\)、\(T_2 \in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)でカノニカル（正典）トポロジーを持つもの、\(t_1 = 0\)、ある\(g: T_1 \to T_2\)に対して、\(f: (- \delta, \delta) \setminus \{0\} \to T_2, t \mapsto (g (t) - g (0)) / (t - 0)\)としよう、ここで、\(lim_{t \to 0} f (t)\)はデリバティブ（微分係数）である。
\(T_2\)はハウスドルフであり\(\{t_1\} \subseteq T_1\)はオープン（開）でない場合、唯一つのコンバージェンス（収束ポイント）があり得る: 以下を満たす2個のコンバージェンス（収束ポイント）たち\(t_2, t'_2 \in T_2\)、つまり、\(t_2 \neq t'_2\)、があったと仮定しよう; \(t_2\)および\(t'_2\)の以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）たち\(U_{t_2}\)および\(U_{t'_2}\)、つまり、\(U_{t_2} \cap U_{t'_2} = \emptyset\)、があることになる; \(t_1\)の以下を満たすネイバーフッド（近傍）たち\(N_{t_1}\)および\(N'_{t_1}\)、つまり、\(f (N_{t_1} \setminus \{t_1\}) \subseteq U_{t_2}\)および\(f (N'_{t_1} \setminus \{t_1\}) \subseteq U_{t'_2}\)、があることになる; しかし、\(f ((N_{t_1} \cap N'_{t_1}) \setminus \{t_1\}) \subseteq U_{t_2} \cap U_{t'_2} = \emptyset\)、それが意味するのは、\(N_{t_1} \cap N'_{t_1} = \{t_1\}\)、それが意味するのは、\(\{t_1\}\)はオープン（開）であったということ、仮定に反する矛盾。
実のところ、\(\{t_1\} \subseteq T_1\)がオープン（開）である時は、各ポイント\(t_2 \in T_2\)は\(t_1\)に関してあるコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、任意の\(N_{t_2}\)に対して、\(N_{t_1} := \{t_1\}\)を選ぶことができる。
