1049: トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）

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トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T_1$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$T_2$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$t_1$: $\in T_1$
$f$: $:T_1\setminus \{t_1\}\to T_2$
$\ast t_2$: $\in T_2$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }{N}_{t_2}\subseteq T_2\in \{t_2\text{ の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}(\mathrm{\exists }{N}_{t_1}\subseteq T_1\in \{t_1\text{ の全てのネイバーフッド（近傍）たち }\}(f(N_{t_1}\setminus \{t_1\})\subseteq N_{t_2}))$
//

複数のコンバージェンス（収束ポイント）たちがあるかもしれない、しかし、ユニークなコンバージェンス（収束ポイント）がある時は、当該コンバージェンス（収束ポイント）は$li{m}_{t^{\prime }\to t_1}f(t^{\prime })$と記すことができる。

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2: 注

$T_1$でなく$T_1\setminus \{t_1\}$を$f$のドメイン（定義域）として取ることの意図は、$f$は$t_1$において定義されているように要求されないということ、"$f$は$t_1$において定義されてはならない"ということではなく。

実のところ、ある$f^{\prime }:T_1\to T_2$がある時、$f:T_1\setminus \{t_1\}\to T_2$はカノニカル（正典）に$f^{\prime }$のドメイン（定義域）リストリクション（制限）として定義でき、$f^{\prime }$の$t_1$に関するコンバージェンス（収束ポイント）は$f$の$t_1$に関するコンバージェンス（収束ポイント）とみなすことができる。

$T_1\setminus \{t_1\}$のことを考える必要がある理由は、$f$が$t_1$において定義されていない重要なケースたちがあること: 例えば、$T_1=(-\delta ,\delta )\subseteq \mathbb{R}$、$T_2\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） }\mathbb{R}\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$でカノニカル（正典）トポロジーを持つもの、$t_1=0$、ある$g:T_1\to T_2$に対して、$f:(-\delta ,\delta )\setminus \{0\}\to T_2,t\mapsto (g(t)-g(0))/(t-0)$としよう、ここで、$li{m}_{t\to 0}f(t)$はデリバティブ（微分係数）である。

$T_2$はハウスドルフであり$\{t_1\}\subseteq T_1$はオープン（開）でない場合、唯一つのコンバージェンス（収束ポイント）があり得る: 以下を満たす2個のコンバージェンス（収束ポイント）たち$t_2,t_2^{\prime }\in T_2$、つまり、$t_2\ne t_2^{\prime }$、があったと仮定しよう; $t_2$および$t_2^{\prime }$の以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）たち$U_{t_2}$および$U_{t_2^{\prime }}$、つまり、$U_{t_2}\cap U_{t_2^{\prime }}=\mathrm{\varnothing }$、があることになる; $t_1$の以下を満たすネイバーフッド（近傍）たち$N_{t_1}$および$N_{t_1}^{\prime }$、つまり、$f(N_{t_1}\setminus \{t_1\})\subseteq U_{t_2}$および$f(N_{t_1}^{\prime }\setminus \{t_1\})\subseteq U_{t_2^{\prime }}$、があることになる; しかし、$f((N_{t_1}\cap N_{t_1}^{\prime })\setminus \{t_1\})\subseteq U_{t_2}\cap U_{t_2^{\prime }}=\mathrm{\varnothing }$、それが意味するのは、$N_{t_1}\cap N_{t_1}^{\prime }=\{t_1\}$、それが意味するのは、$\{t_1\}$はオープン（開）であったということ、仮定に反する矛盾。

実のところ、$\{t_1\}\subseteq T_1$がオープン（開）である時は、各ポイント$t_2\in T_2$は$t_1$に関してあるコンバージェンス（収束ポイント）である、なぜなら、任意の$N_{t_2}$に対して、$N_{t_1}:=\{t_1\}$を選ぶことができる。

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参考資料

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