リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持って
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\langle \bullet, \bullet \rangle\): \(: V \times V \to F\), \(\in \{\text{ 全てのインナープロダクト（内積）たち }\}\)
\(\Vert \bullet \Vert\): \(: V \to \mathbb{R}\), \(= \langle \bullet, \bullet \rangle \text{ によってインデュースト（誘導された）ノルム }\)
\(dist\): \(: V \times V \to \mathbb{R}\), \(= \Vert \bullet \Vert \text{ によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量） }\)
\(O\): \(= dist \text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジー }\)
\((V, O)\): \(= \text{ 当該トポロジカルスペース（空間） }\)
\(w\): \(\in V\)
\(f_1\): \(: (V, O) \to F, v \mapsto \langle v, w \rangle\)
\(f_2\): \(: (V, O) \to F, v \mapsto \langle w, u \rangle\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_1 \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
\(\land\)
\(f_2 \in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}\)
//
3: 証明
全体戦略: 任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を使う; ステップ1: \(f_1\)に対して、任意の\(v \in V\)に対して、\(f_1 (v)\)の周りの任意の\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{f_1 (v), \epsilon}\)を取り、\(v\)の周りの以下を満たすある\(\delta\)-'オープンボール（開球）'\(B_{v, \delta}\)、つまり、\(f_1 (B_{v, \delta}) \subseteq B_{f_1 (v), \epsilon}\)、を取る; ステップ2: \(f_2\)に対して、任意の\(v \in V\)に対して、\(f_2 (v)\)の周りの任意の\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'\(B_{f_1 (v), \epsilon}\)を取り、\(v\)の周りの以下を満たすある\(\delta\)-'オープンボール（開球）'\(B_{v, \delta}\)、つまり、\(f_2 (B_{v, \delta}) \subseteq B_{f_1 (v), \epsilon}\)、を取る。
ステップ1:
\(f_1\)がコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(v \in V\)は任意のものとしよう。
\(B_{f_1 (v), \epsilon} \subseteq F\)を\(f_1 (v)\)の周りの\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'としよう。
\(B_{v, \delta}\)を\(v\)の周りの\(\delta\)-'オープンボール（開球）'としよう。
各\(v' \in B_{v, \delta}\)に対して、\(dist (v, v') = \Vert v - v' \Vert = \sqrt{\langle v - v', v - v' \rangle} \lt \delta\)。
\(f_1 (v') - f_1 (v) = \langle v', w \rangle - \langle v, w \rangle = \langle v - v', w \rangle\)。
任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(\vert \langle v - v', w \rangle \vert \le \sqrt{\langle v - v', v - v' \rangle} \sqrt{\langle w, w \rangle} \lt \delta \sqrt{\langle w, w \rangle}\)。
したがって、\(\delta = \epsilon / \sqrt{\langle w, w \rangle}\)と取ることによって、\(\vert f_1 (v') - f_1 (v) \vert = \vert \langle v - v', w \rangle \vert \lt \epsilon / \sqrt{\langle w, w \rangle} \sqrt{\langle w, w \rangle} = \epsilon\)、それが意味するのは、\(f_1 (B_{v, \delta}) \subseteq B_{f_1 (v), \epsilon}\)。
したがって、\(f_1\)はコンティニュアス（連続）である。
ステップ2:
\(f_2\)はコンティニュアス（連続）であることを見よう。
\(v \in V\)を任意のものとしよう。
\(B_{f_2 (v), \epsilon} \subseteq F\)を\(f_2 (v)\)の周りの\(\epsilon\)-'オープンボール（開球）'としよう。
\(B_{v, \delta}\)を\(v\)の周りの\(\delta\)-'オープンボール（開球）'としよう。
各\(v' \in B_{v, \delta}\)に対して、\(dist (v, v') = \Vert v - v' \Vert = \sqrt{\langle v - v', v - v' \rangle} \lt \delta\)。
\(f_2 (v') - f_2 (v) = \langle w, v' \rangle - \langle w, v \rangle = \langle w, v - v' \rangle\)。
任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、\(\vert \langle w, v - v' \rangle \vert \le \sqrt{\langle w, w \rangle} \sqrt{\langle v - v', v - v' \rangle} \lt \sqrt{\langle w, w \rangle} \delta\)。
したがって、\(\delta = \epsilon / \sqrt{\langle w, w \rangle}\)と取ることによって、\(\vert f_2 (v') - f_2 (v) \vert = \vert \langle w, v - v' \rangle \vert \lt \sqrt{\langle w, w \rangle} \epsilon / \sqrt{\langle w, w \rangle} = \epsilon\)、それが意味するのは、\(f_2 (B_{v, \delta}) \subseteq B_{f_2 (v), \epsilon}\)。
したがって、\(f_2\)はコンティニュアス（連続）である。
