1048: リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）である

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>

リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）でインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であることの記述/証明

---

話題

About: ベクトルたちスペース（空間）
About: トポロジカルスペース（空間）

---

この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 3: 証明

---

開始コンテキスト

• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムの定義を知っている。
• 読者は、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）の定義を知っている。
• 読者は、メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を認めている。

---

ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）で任意のインナープロダクト（内積）によってインデュースト（誘導された）ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）トポロジーを持つものに対して、任意の1個の引数を固定したインナープロダクト（内積）はコンティニュアス（連続）マップ（写像）であるという命題の記述および証明を得る。

---

オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

---

本体

---

1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$F$: $\in \{\mathbb{R},\mathbb{C}\}$、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持って
$V$: $\in \{\text{ 全ての }F\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$
$⟨\bullet ,\bullet ⟩$: $:V\times V\to F$, $\in \{\text{ 全てのインナープロダクト（内積）たち }\}$
$\Vert \bullet \Vert$: $:V\to \mathbb{R}$, $=⟨\bullet ,\bullet ⟩\text{ によってインデュースト（誘導された）ノルム }$
$dist$: $:V\times V\to \mathbb{R}$, $=\Vert \bullet \Vert \text{ によってインデュースト（誘導された）メトリック（計量） }$
$O$: $=dist\text{ によってインデュースト（誘導された）トポロジー }$
$(V,O)$: $=\text{ 当該トポロジカルスペース（空間） }$
$w$: $\in V$
$f_1$: $:(V,O)\to F,v\mapsto ⟨v,w⟩$
$f_2$: $:(V,O)\to F,v\mapsto ⟨w,u⟩$
//

ステートメント（言明）たち:
$f_1\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
$\wedge$
$f_2\in \{\text{ 全てのコンティニュアス（連続）マップ（写像）たち }\}$
//

---

3: 証明

全体戦略: 任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式を使う; ステップ1: $f_1$に対して、任意の$v\in V$に対して、$f_1(v)$の周りの任意の$ϵ$-'オープンボール（開球）'$B_{f_1(v),ϵ}$を取り、$v$の周りの以下を満たすある$\delta$-'オープンボール（開球）'$B_{v,\delta }$、つまり、$f_1(B_{v,\delta })\subseteq B_{f_1(v),ϵ}$、を取る; ステップ2: $f_2$に対して、任意の$v\in V$に対して、$f_2(v)$の周りの任意の$ϵ$-'オープンボール（開球）'$B_{f_1(v),ϵ}$を取り、$v$の周りの以下を満たすある$\delta$-'オープンボール（開球）'$B_{v,\delta }$、つまり、$f_2(B_{v,\delta })\subseteq B_{f_1(v),ϵ}$、を取る。

ステップ1:

$f_1$がコンティニュアス（連続）であることを見よう。

$v\in V$は任意のものとしよう。

$B_{f_1(v),ϵ}\subseteq F$を$f_1(v)$の周りの$ϵ$-'オープンボール（開球）'としよう。

$B_{v,\delta }$を$v$の周りの$\delta$-'オープンボール（開球）'としよう。

各$v^{\prime }\in B_{v,\delta }$に対して、$dist(v,v^{\prime })=\Vert v-v^{\prime }\Vert =\sqrt{⟨v-v^{\prime },v-v^{\prime }⟩}<\delta$。

$f_1(v^{\prime })-f_1(v)=⟨v^{\prime },w⟩-⟨v,w⟩=⟨v-v^{\prime },w⟩$。

任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、$|⟨v-v^{\prime },w⟩|\le \sqrt{⟨v-v^{\prime },v-v^{\prime }⟩}\sqrt{⟨w,w⟩}<\delta \sqrt{⟨w,w⟩}$。

したがって、$\delta =ϵ/\sqrt{⟨w,w⟩}$と取ることによって、$|f_1(v^{\prime })-f_1(v)|=|⟨v-v^{\prime },w⟩|<ϵ/\sqrt{⟨w,w⟩}\sqrt{⟨w,w⟩}=ϵ$、それが意味するのは、$f_1(B_{v,\delta })\subseteq B_{f_1(v),ϵ}$。

したがって、$f_1$はコンティニュアス（連続）である。

ステップ2:

$f_2$はコンティニュアス（連続）であることを見よう。

$v\in V$を任意のものとしよう。

$B_{f_2(v),ϵ}\subseteq F$を$f_2(v)$の周りの$ϵ$-'オープンボール（開球）'としよう。

$B_{v,\delta }$を$v$の周りの$\delta$-'オープンボール（開球）'としよう。

各$v^{\prime }\in B_{v,\delta }$に対して、$dist(v,v^{\prime })=\Vert v-v^{\prime }\Vert =\sqrt{⟨v-v^{\prime },v-v^{\prime }⟩}<\delta$。

$f_2(v^{\prime })-f_2(v)=⟨w,v^{\prime }⟩-⟨w,v⟩=⟨w,v-v^{\prime }⟩$。

任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）インナープロダクト（内積）付きベクトルたちスペース（空間）に対するコーシー・シュワルツ不等式によって、$|⟨w,v-v^{\prime }⟩|\le \sqrt{⟨w,w⟩}\sqrt{⟨v-v^{\prime },v-v^{\prime }⟩}<\sqrt{⟨w,w⟩}\delta$。

したがって、$\delta =ϵ/\sqrt{⟨w,w⟩}$と取ることによって、$|f_2(v^{\prime })-f_2(v)|=|⟨w,v-v^{\prime }⟩|<\sqrt{⟨w,w⟩}ϵ/\sqrt{⟨w,w⟩}=ϵ$、それが意味するのは、$f_2(B_{v,\delta })\subseteq B_{f_2(v),ϵ}$。

したがって、$f_2$はコンティニュアス（連続）である。

---

参考資料

<このシリーズの前の記事 | このシリーズの目次 | このシリーズの次の記事>