1050: トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントマップ（写像）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされる

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トポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントからファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中へのマップ（写像）に対して、マップ（写像）の、ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、コンポーネントマップ（写像）たちのポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、コンバージェンス（収束ポイント）はコンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされることの記述/証明

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話題

About: トポロジカルスペース（空間）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 証明

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開始コンテキスト

• 読者は、ファイナイト（有限）次元リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）に対するカノニカル（自然な）トポロジーの定義を知っている。
• 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題の記述および証明を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$T$: $\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}$
$V$: $\in \{\text{ 全ての }d\text{ -ディメンショナル（次元） }\mathbb{R}\text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}$で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
$B$: $\in \{V\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち }\}$, $=\{b_1,..,b_d\}$
$t$: $\in T$
$f$: $:T\setminus \{t\}\to V,t^{\prime }\mapsto f^j(t^{\prime })b_j$
//

ステートメント（言明）たち:
(
$\mathrm{\exists }li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$
$⟺$
$\mathrm{\forall }j\in \{1,...,d\}(\mathrm{\exists }li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime }))$
)
$⟹$
$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })=li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })b_j$
//

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2: 証明

全体戦略: ステップ1: $li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$が存在すると仮定し、それを$v=v^j{b}_j$と表わす; ステップ2: $li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$が存在し$v^j$に等しいことを見る; ステップ3: $li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$が存在すると仮定し、それを$v^j$と表わす; ステップ4: $li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$が存在し$v^j{b}_j$に等しいことを見る。

ステップ0:

$V$はハウスドルフであることに留意する。

$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$の存在を仮定することも$li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$の存在を仮定することも、$\{t\}\subseteq T$はオープン（開）でないことを含意する、なぜなら、そうでなければ、コンバージェンス（収束ポイント）たちはユニークでないことになる: トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義に対する"注"を参照のこと。

したがって、コンバージェンス（収束ポイント）たちのユニーク性について心配する必要はない。

ステップ1:

$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$は存在すると仮定し、それを$v=v^j{b}_j$と表わそう。

ステップ2:

$li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$は存在し$v^j$に等しいことを見よう。

$v$の各ネイバーフッド（近傍）$N_v\subseteq V$に対して、以下を満たすオープンネイバーフッド（開近傍）$B_{v,ϵ}\subseteq V$、つまり、$B_{v,ϵ}\subseteq N_v$、がある、カノニカル（正典）トポロジーの定義によって: $B_{v,ϵ}$が意味するのは、${\mathbb{R}}^d$の対応するサブセット（部分集合）が$ϵ$-'オープンボール（開球）'であること。

$t$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U_t\subseteq T$、つまり、$f(U_t\setminus \{t\})\subseteq B_{v,ϵ}\subseteq N_v$、がある、なぜなら、$f$は$t$に関してコンバージ（収束）する。

それが意味するのは、各$t^{\prime }\in U_t\setminus \{t\}$に対して、$f(t^{\prime })=f^j(t^{\prime })b_j\in B_{v,ϵ}$、それが意味するのは、$\sum _{j\in \{1,...,d\}}(f^j(t^{\prime })-v^j{)}^2<{ϵ}^2$。

したがって、各$j$に対して、$(f^j(t^{\prime })-v^j{)}^2<{ϵ}^2$。

それが意味するのは、マップ（写像）$f^j:T_1\setminus \{t\}\to \mathbb{R}$は$t$に関してコンバージェンス（収束ポイント）を持つ、$li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })=v^j$として、ということ。

したがって、$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })=v=v^j{b}_j=li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })b_j$。

ステップ3:

各$j\in \{1,...,d\}$に対して、$li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })$が存在すると仮定し、それを$v^j$と表わそう。

ステップ4:

$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })$が存在し$v^j{b}_j$に等しいことを見よう。

$v:=v^j{b}_j$と定義しよう。

$v$の各ネイバーフッド（近傍）$N_v\subseteq V$に対して、以下を満たすあるオープンボール（開球）$B_{v,ϵ}\subseteq V$、つまり、$B_{v,ϵ}\subseteq N_v$、がある。

各$j$に対して、$B_{v^j,ϵ/\sqrt{d}}\subseteq \mathbb{R}$を$v^j$の周りのオープンボール（開球）としよう。

各$j$に対して、$t$の以下を満たすあるネイバーフッド（近傍）$U_{j,t}\subseteq T$、つまり、$f^j(U_{j,t}\setminus \{t\})\subseteq B_{v^j,ϵ/\sqrt{d}}$、がある、なぜなら、$f^j$は$t$に関してコンバージ（収束）する。

$U_t:={\cap }_{j\in \{1,...,d\}}{U}_{j,t}\subseteq T$としよう、それは$t$のネイバーフッド（近傍）である。

各$j$に対して、$f^j(U_t\setminus \{t\})\subseteq B_{v^j,ϵ/\sqrt{d}}$、それが意味するのは、各$t^{\prime }\in U_t\setminus \{t\}$に対して、$(f^j(t^{\prime })-v^j{)}^2<{ϵ}^2/d$であること。

すると、各$t^{\prime }\in U_t\setminus \{t\}$に対して、$f(t^{\prime })=f^j(t^{\prime })b_j\in B_{v,ϵ}$、なぜなら、$\sum _{j\in \{1,...,d\}}(f^j(t^{\prime })-v^j{)}^2<\sum _{j\in \{1,...,d\}}{ϵ}^2/d={ϵ}^2$。

それが意味するのは、$f(U_t\setminus \{t\})\subseteq B_{v,ϵ}\subseteq N_v$。

それが意味するのは、$f$は$t$に関するコンバージェンス（収束ポイント）を持ち、$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })=v$であること。

したがって、$li{m}_{t^{\prime }\to t}f(t^{\prime })=v=v^j{b}_j=li{m}_{t^{\prime }\to t}{f}^j(t^{\prime })b_j$。

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参考資料

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