\(2\)個の両方は\(0\)でないコンプレックスナンバー（複素数）たちおよび非負ナンバー（数）\(p\)に対して、合計の絶対値の\(p\)乗は 絶対値の\(p\)乗たちの合計の(\(2\)の\(p\)乗)倍より小さいことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、コンプレックスナンバー（複素数）たちセット（集合）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の\(2\)個の両方は\(0\)でないコンプレックスナンバー（複素数）たちおよび任意の非負ナンバー（数）\(p\)に対して、当該ナンバー（数）たちの合計の絶対値の\(p\)乗は 当該ナンバー（数）の絶対値の\(p\)乗たちの合計の(\(2\)の\(p\)乗)倍より小さいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(c_1\): \(\in \mathbb{C}\)
\(c_2\): \(\in \mathbb{C}\)
\(p\): \(\in \mathbb{R}\)で\(0 \le p\)を満たすもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(\vert c_1 \vert \neq 0 \lor \vert c_2 \vert \neq 0\)
\(\implies\)
\(\vert c_1 + c_2 \vert^p \lt 2^p (\vert c_1 \vert^p + \vert c_2 \vert^p)\)
//
2: 注1
これが可能な最上の評価であると私たちは言っていない: 例えば、\(p = 1\)に対して、\(\vert c_1 + c_2 \vert \le \vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert\)、そして、\(p = 2\)に対して、\(\vert c_1 + c_2 \vert^2 \le 2 (\vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2)\)。
しかし、多くのケースたちにおいて、私たちの関心事は、\(\vert c_1 + c_2 \vert^p \lt c (\vert c_1 \vert^p + \vert c_2 \vert^p)\)に対して可能な最上の\(c\)を得ることではなく、\(c_1, c_2\)に依存しない（\(p\)には依存してよい）任意のコンスタント（定数）\(c\)があることを見ることである。
本命題は、ある\(c\)を多分最も容易な方法で得るということを課題としている。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\vert c_1 + c_2 \vert \le \vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert\)であることを見る; ステップ2: \(\vert c_2 \vert \le \vert c_1 \vert\)であると仮定し、以下を満たすある\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \le r \le 1\)、に対して、\(\vert c_2 \vert = r \vert c_1 \vert\)とする; ステップ3: \((\vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert)^p = (\vert c_1 \vert + r \vert c_1 \vert)^p\)を評価する; ステップ4: \(\vert c_1 \vert \lt \vert c_2 \vert\)と仮定しても何も問題がないことを見る。
ステップ1:
\(\vert c_1 + c_2 \vert \le \vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert\)、それはよく知られた事実である、しかし、それを簡潔に説明すると、\(c_j\)は\(\mathbb{R}^2\)上のベクトルとみなすことができ、\(\vert c_1 + c_2 \vert\)は当該ベクトルたちの合計の長さであり、\(\vert c_1 \vert\)および\(\vert c_2 \vert\)は\(c_1\)および\(c_2\)の長さたちであり、\(\vert c_1 + c_2 \vert \le \vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert\)はユークリディアン幾何学によって成立する。
ステップ2:
\(\vert c_2 \vert \le \vert c_1 \vert\)であると仮定しよう。
すると、\(\vert c_2 \vert = r \vert c_1 \vert\)、以下を満たすある\(r \in \mathbb{R}\)、つまり、\(0 \le r \le 1\)、に対して。
ステップ3:
\(\vert c_1 + c_2 \vert^p \le (\vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert)^p = (\vert c_1 \vert + r \vert c_1 \vert)^p = (\vert c_1 \vert (1 + r))^p = (1 + r)^p \vert c_1 \vert^p\)。
\(\vert c_2 \vert \lt \vert c_1 \vert\)であると仮定しよう、それが意味するのは、\(r \lt 1\)。
すると、\(\lt 2^p \vert c_1 \vert^p \le 2^p (\vert c_1 \vert^p + \vert c_2 \vert^p)\)。
\(\vert c_2 \vert = \vert c_1 \vert\)であると仮定しよう。
すると、\(\vert c_1 + c_2 \vert^p \le (\vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert)^p = (2 \vert c_1 \vert)^p = 2^p \vert c_1 \vert^p \lt 2^p (\vert c_1 \vert^p + \vert c_2 \vert^p)\): \(0 \lt \vert c_2 \vert\)、なぜなら、そうでなければ、\(\vert c_2 \vert = \vert c_1 \vert = 0\)、\(\vert c_1 \vert \neq 0 \lor \vert c_2 \vert \neq 0\)に反する矛盾。
したがって、いずれにせよ、\(\vert c_1 + c_2 \vert^p \lt 2^p (\vert c_1 \vert^p + \vert c_2 \vert^p)\)。
ステップ4:
\(\vert c_1 \vert \lt \vert c_2 \vert\)であると仮定しよう。
すると、\(\vert c_1 + c_2 \vert^p = \vert c_2 + c_1 \vert^p\)、そして、先行するステップたちによって、\(\vert c_2 + c_1 \vert^p \lt 2^p (\vert c_2 \vert^p + \vert c_1 \vert^p) = 2^p (\vert c_1 \vert^p + \vert c_2 \vert^p)\)。
したがって、\(\vert c_1 + c_2 \vert^p \lt 2^p (\vert c_1 \vert^p + \vert c_2 \vert^p)\)。
4: 注2
\(p = 2\)に対して、\(\vert c_1 + c_2 \vert^p \le 2 (\vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2)\)であることの証明を見よう。
\(\vert c_1 + c_2 \vert^2 \le (\vert c_1 \vert + \vert c_2 \vert)^2 = \vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2 + 2 \vert c_1 \vert \vert c_2 \vert\)。
しかし、\(0 \le (\vert c_1 \vert - \vert c_2 \vert)^2 = \vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2 - 2 \vert c_1 \vert \vert c_2 \vert\)、それが含意するのは、\(2 \vert c_1 \vert \vert c_2 \vert \le \vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2\)。
したがって、\(\vert c_1 + c_2 \vert^2 \le \vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2 + \vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2 = 2 (\vert c_1 \vert^2 + \vert c_2 \vert^2)\)。
それが可能な最上の評価である、なぜなら、\(\vert 1 + 1 \vert^2 = 2^2 = 4 = 2 (1 + 1) = 2 (1^2 + 1^2)\)。
\(\le\)を\(\lt\)にするには、任意の\(2 \lt c\)を取ればよいだけである。
