メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、サブシーケンス（部分列）がポイントへコンバージ（収束）する場合、シーケンス（列）は当該ポイントへコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、メトリックスペース（計量付き空間）上のコーシーシーケンス（列）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のメトリックスペース（計量付き空間）上の任意のコーシーシーケンス（列）に対して、もしも、そのあるサブシーケンス（部分列）があるポイントへコンバージ（収束）する場合、当該シーケンス（列）は同一ポイントへコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのメトリックスペース（計量付き空間）たち }\}\)
\(f\): \(: \mathbb{N} \to T\), \(\in \{\text{ 全てのコーシーシーケンス（列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists f': \mathbb{N} \to \mathbb{N} \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } \forall j, k \in \mathbb{N} \text{ で以下を満たすもの、つまり、 } j \lt k (f' (j) \lt f' (k)) (f \circ f' \to t \in T, \text{ それが意味するのは、 } f \circ f' \text{ は } t \text{ へコンバージ（収束）するということ })\)
\(\implies\)
\(f \to t \in T\)、それが意味するのは、\(f\)は\(t\)へコンバージ（収束）するということ
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(t\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{t, \epsilon / 2}\)を取り、以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、以下を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)に対して、\(f \circ f' (j) \in B_{t, \epsilon / 2}\)、を取る; ステップ2: 以下を満たすある\(N' \in \mathbb{N}\)、つまり、以下を満たす各\(j, k \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt j, k\)に対して、\(dist (f (j), f (k)) \lt \epsilon / 2\)、を取る; ステップ3: \(N'' := max (N, N')\)を取り、以下を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N'' \lt j\)、に対して、\(dist (t, f (j)) \lt \epsilon\)であることを見る。
ステップ1:
\(t\)の周りのオープンボール（開球）\(B_{t, \epsilon / 2}\)を取ろう。
以下を満たすある\(N \in \mathbb{N}\)、つまり、以下を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N \lt j\)に対して、\(f \circ f' (j) \in B_{t, \epsilon / 2}\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(f \circ f'\)は\(t\)へコンバージ（収束）する。
ステップ2:
以下を満たすある\(N' \in \mathbb{N}\)、つまり、以下を満たす各\(j, k \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N' \lt j, k\)、に対して、\(dist (f (j), f (k)) \lt \epsilon / 2\)、を取ろう、それは可能である、なぜなら、\(f\)はコーシーシーケンス（列）である。
ステップ3:
\(N'' := max (N, N')\)を取ろう。
以下を満たす各\(j \in \mathbb{N}\)、つまり、\(N'' \lt j\)、に対して、\(dist (t, f (j)) \leq dist (t, f \circ f' (j)) + dist (f \circ f' (j), f (j)) \lt \epsilon / 2 + \epsilon / 2 = \epsilon\)、なぜなら、\(f \circ f' (j) = f (f' (j))\)であるところ、\(j \leq f' (j)\)および\(N' \le N'' \lt f' (j), j\)。
したがって、\(f\)は\(t\)へコンバージ（収束）する。
