コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）のコンプレックス（複素）コンジュゲート（共役）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%フィールド（体）名%ベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、コンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）のコンプレックス（複素）コンジュゲート（共役）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( \mathbb{C}\): カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、任意のアディション（加法）\(+\)および任意のスカラーマルチプリケーション（乗法）\(*\)を持つもの
\( \overline{V}\): \(= V\), \(\in \{\text{ 全ての } \mathbb{C} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、下で指定されるアディション（加法）\(\oplus\)およびスカラーマルチプリケーション（乗法）\(\otimes\)を持つもの
//
コンディションたち:
\(\forall v, v' \in \overline{V} (v \oplus v' = v + v')\)
\(\land\)
\(\forall v \in \overline{V}, \forall c \in \mathbb{C} (c \otimes v = \overline{c} * v)\)
//
2: 注
\(\overline{V} = V\)が意味するのは、セット（集合）たちとして同一であるということ。
バイジェクティブ（全単射）な対応\(f: V \to \overline{V}, v \mapsto v\)があるが、それはベクトルたちスペース（空間）ホモモーフィズム（準同形写像）ではない: \(f (c * v) = c * v = \overline{c} \otimes v = \overline{c} \otimes f (v)\)、それはリニア（線形）ではない。
\(f (v)\)は"\(v\)のコンジュゲート（共役）"と呼ばれる。
\(V\)が\(d\)-ディメンショナル（次元）であってあるベーシス（基底）\(B = \{b_1, ..., b_d\}\)を持つ時、\(B\)は\(\overline{V}\)に対するベーシス（基底）でもある: \(c^1 \otimes b_1 \oplus ... \oplus c^d \otimes b_d = 0\)に対して、\(\overline{c^1} * b_1 + ... + \overline{c^d} * b_d = 0\)、それが含意するのは、\(\overline{c^1} = ... = \overline{c^d} = 0\)、それが含意するのは、\(c^1 = ... = c^d = 0\)、したがって、\(B\)は\(\overline{V}\)上でリニア（線形）にインディペンデント（独立）である; 各\(v \in \overline{V}\)に対して、\(v = v^1 * b_1 + ... + v^d * b_d = \overline{v^1} \otimes b_1 \oplus ... \oplus \overline{v^d} \otimes b_d\)、したがって、\(B\)は\(\overline{V}\)をスパンする（張る）。
任意の\(v \in V\)の\(B\)に関するコンポーネントたちセット（集合）は\((v^1, ..., v^d)^t\)である、それが意味するのは、\(v = v^1 * b_1 + ... + v^d * b_d\)、それが意味するのは、\(v = \overline{v^1} \otimes b_1 \oplus ... \oplus \overline{v^d} \otimes b_d\)、したがって、\(v \in \overline{V}\)の\(B\)に関するコンポーネントたちセット（集合）は\((\overline{v^1}, ..., \overline{v^d})\)である、それは頻繁に行ベクトルとして記される、慣習として。
\(V\)があるインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle_V\)を持つ時、\(\langle \bullet, \bullet \rangle: \overline{V} \times V \to \mathbb{C}, (v', v) \mapsto \langle v, f^{-1} (v') \rangle_V\)はしばしば"インナープロダクト（内積）"と呼ばれる、リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）上のインナープロダクト（内積）の定義はある単一のベクトルたちスペース（空間）上のものであるが。
\(v' = v'^j \otimes b_j\)および\(v = v^l * b_l\)に対して、\(\langle v', v \rangle = \langle v'^j \otimes b_j, v^l * b_l \rangle = \langle v^l * b_l, f^{-1} (v'^j \otimes b_j) \rangle_V = \langle v^l * b_l, \overline{v'^j} * b_j \rangle_V = \overline{v'^j} v^l \langle b_l, b_j \rangle_V\)で、特にもしも、当該ベーシス（基底）がオーソノーマル（正規直交）である場合、\(= \overline{v'^j} v^l \delta_{l, j} = \sum_j \overline{v'^j} v^j = (\overline{v'^1}, ..., \overline{v'^d}) (v^1, ..., v^d)^t\)。
\(\overline{V}\)は本当に\(\mathbb{C}\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in \overline{V}\)に対して、\(v_1 \oplus v_2 \in \overline{V}\)（アディション（加法）の下で閉じていること）: \(v_1 \oplus v_2 = v_1 + v_2 \in V = \overline{V}\)。
2) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in \overline{V}\)に対して、\(v_1 \oplus v_2 = v_2 \oplus v_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(v_1 \oplus v_2 = v_1 + v_2 = v_2 + v_1 = v_2 \oplus v_1\)。
3) 任意の要素たち\(v_1, v_2, v_3 \in \overline{V}\)に対して、\((v_1 \oplus v_2) \oplus v_3 = v_1 \oplus (v_2 \oplus v_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((v_1 \oplus v_2) \oplus v_3 = (v_1 + v_2) + v_3 = v_1 + (v_2 + v_3) = v_1 \oplus (v_2 \oplus v_3)\)。
4) 以下を満たすある0要素\(0 \in \overline{V}\)、つまり、任意の\(v \in \overline{V}\)に対して、\(v \oplus 0 = v\)、がある（0ベクトルの存在）: \(0 \in V = \overline{V}\)、および\(v \oplus 0 = v + 0 = v\)。
5) 任意の要素\(v \in \overline{V}\)に対して、以下を満たすあるインバース（逆）要素\(v' \in \overline{V}\)、つまり、\(v' \oplus v = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在）: \(v' := -v \in V = \overline{V}\)、および\(v' \oplus v = - v + v = 0\)。
6) 任意の要素\(v \in \overline{V}\)および任意のスカラー\(r \in \mathbb{C}\)に対して、\(r \otimes v \in \overline{V}\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(r \otimes v = \overline{r} * v \in V = \overline{V}\)。
7) 任意の要素\(v \in \overline{V}\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in \mathbb{C}\)に対して、\((r_1 + r_2) \otimes v = r_1 \otimes v \oplus r_2 \otimes v\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \((r_1 + r_2) \otimes v = \overline{(r_1 + r_2)} * v = (\overline{r_1} + \overline{r_2}) * v = \overline{r_1} * v + \overline{r_2} * v = r_1 \otimes v \oplus r_2 \otimes v\)。
8) 任意の要素たち\(v_1, v_2 \in \overline{V}\)および任意のスカラー\(r \in \mathbb{C}\)に対して、\(r \otimes (v_1 \oplus v_2) = r \otimes v_1 \oplus r \otimes v_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(r \otimes (v_1 \oplus v_2) = \overline{r} * (v_1 + v_2) = \overline{r} * v_1 + \overline{r} * v_2 = r \otimes v_1 \oplus r \otimes v_2\)。
9) 任意の要素\(v \in \overline{V}\)および任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in \mathbb{C}\)に対して、\((r_1 r_2) \otimes v = r_1 \otimes (r_2 \otimes v)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \((r_1 r_2) \otimes v = \overline{(r_1 r_2)} * v = (\overline{r_1} \overline{r_2}) * v = \overline{r_1} * (\overline{r_2} * v) = r_1 \otimes (r_2 \otimes v)\)。
10) 任意の要素\(v \in \overline{V}\)に対して、\(1 \otimes v = v\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: \(1 \otimes v = \overline{1} * v = 1 * v = v\)。
