ヒルベルトスペース（空間）、カウンタブル（可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）、ヒルベルトスペース（空間）の要素に対して、サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）で要素とサブセット（部分集合）要素のインナープロダクト（内積）コエフィシェント（係数）たちを持つものはコンバージ（収束）することの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ヒルベルトスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のヒルベルトスペース（空間）、任意のカウンタブル（可算）オーソノーマル（正規直交）サブセット（部分集合）、当該ヒルベルトスペース（空間）の任意の要素に対して、当該サブセット（部分集合）のリニアコンビネーション（線形結合）で当該要素とサブセット（部分集合）要素のインナープロダクト（内積）コエフィシェント（係数）たちを持つものはコンバージ（収束）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\((V, dist)\): \(= \{\text{ 当該ヒルベルトスペース（空間） }\}\)で、任意のインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(S\): \(\in \{V \text{ の全てのカウンタブル（可算）サブセット（部分集合）たち }\}\), \(= \{s_1, s_2, ...\}\)で、以下を満たすもの、つまり、\(\forall s_j \in S (\langle s_j, s_j \rangle = 1) \land \forall s_j, s_l \in S \text{ で、以下を満たすもの、つまり、 } s_j \neq s_l (\langle s_j, s_l \rangle = 0)\)
\(v\): \(\in V\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sum_j \langle v, s_j \rangle s_j\)はコンバージ（収束）する
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sum_j \langle v, s_j \rangle s_j\)はコーシーシーケンス（列）であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(\sum_j \langle v, s_j \rangle s_j\)はコーシーシーケンス（列）であることを見よう。
\(0 \le \Vert v - \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle s_j \Vert^2 = \langle v - \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle s_j, v - \sum^n_{l = 1} \langle v, s_l \rangle s_l \rangle = \langle v, v \rangle - \langle v, \sum^n_{l = 1} \langle v, s_l \rangle s_l\rangle - \langle \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle s_j, v \rangle + \langle \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle s_j, \sum^n_{l = 1} \langle v, s_l \rangle s_l \rangle = \langle v, v \rangle - \sum^n_{l = 1} \overline{\langle v, s_l \rangle} \langle v, s_l \rangle - \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle \langle s_j, v \rangle + \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle \sum^n_{l = 1} \overline{\langle v, s_l \rangle} \langle s_j, s_l \rangle = \langle v, v \rangle - \sum^n_{l = 1} \vert \langle v, s_l\rangle \vert^2 - \sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 + \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle \sum^n_{l = 1} \overline{\langle v, s_l \rangle} \delta_{j, l} = \langle v, v \rangle - \sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 - \sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 + \sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle \overline{\langle v, s_j \rangle} = \langle v, v \rangle - 2 \sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 + \sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 = \langle v, v \rangle - \sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2\)、それが意味するのは、\(\sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 \le \langle v, v \rangle\)。
それが意味するのは、\(\sum^n_{j = 1} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2\)はコンバージ（収束）するということ、モノトーン（単調）増加、上に有界シーケンス（列）として、したがって、コーシーシーケンス（列）である、それが意味するのは、各\(\epsilon\)に対して、以下を満たすある\(N\)、つまり、各\(N \lt m, n\)に対して、\(\sum^n_{j = m} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 \lt \epsilon^2\)、があるということ。
\(\Vert \sum^n_{j = m} \langle v, s_j \rangle s_j \Vert^2 = \langle \sum^n_{j = m} \langle v, s_j \rangle s_j, \sum^n_{l = m} \langle v, s_l \rangle s_l \rangle = \sum^n_{j = m} \langle v, s_j \rangle \sum^n_{l = m} \overline{\langle v, s_l \rangle} \langle s_j, s_l \rangle = \sum^n_{j = m} \langle v, s_j \rangle \sum^n_{l = m} \overline{\langle v, s_l \rangle} \delta_{j, l} = \sum^n_{j = m} \vert \langle v, s_j \rangle \vert^2 \lt \epsilon^2\)。
それが意味するのは、\(\sum^n_{j = 1} \langle v, s_j \rangle s_j\)はコーシーシーケンス（列）であるということ。
ステップ2:
\(V\)はコンプリート（完備）であるから、\(\sum_j \langle v, s_j \rangle s_j\)はコンバージ（収束）する。
