ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対するシャウダーベーシス（基底）の定義
話題
About: メトリックスペース（計量付き空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、ノルム付きベクトルたちスペース（空間）に対するシャウダーベーシス（基底）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\( V\): \(\in \{\text{ 全てのノルム付き } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)で、当該ノルムによってインデュースト（誘導された）メトリック（計量）を持つもの
\(*B\): \(: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to V\)
//
コンディションたち:
\(\forall v \in V (! \exists s: \mathbb{N} \setminus \{0\} \to F (v = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} s (j) B (j)))\)
//
2: 注
不可避に、任意のファイナイト（有限）セット（集合）\(\{B (j_1), ..., B (j_n)\}\)はリニアにインディペンデント（線形独立）である、なぜなら、\(c^1 B (j_1) + ... + c^n B (j_n) = 0\)に対して、以下を満たす\(s: j \mapsto 0\)、つまり、\(0 = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} s (j) B (j)))\)、がある、しかし、\(0 \in V\)から、そういう\(s\)はユニークである、したがって、\(c^1 = ... = c^n = 0\)、なぜなら、そうでなければ、以下を満たす別の\(s'\)、つまり、\(0 = \sum_{j \in \mathbb{N} \setminus \{0\}} s' (j) B (j)\)、を構成することになる。
