1065: C∞マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーション

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$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーションの定義

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話題

About: $C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）

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この記事の目次

• 開始コンテキスト
• ターゲットコンテキスト
• オリエンテーション
• 本体
• 1: 構造化された記述
• 2: 注

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開始コンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントのオリエンテーションの定義を知っている。
• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$ベクトルたちバンドル（束）上のローカル$C^{\mathrm{\infty }}$フレームの定義を知っている。

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ターゲットコンテキスト

• 読者は、$C^{\mathrm{\infty }}$マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーションの定義を得る。

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オリエンテーション

本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。

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本体

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1: 構造化された記述

ここに'構造化された記述'のルールたちがある。

エンティティ（実体）たち:
$M$: $\in \{\text{ 全ての }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}$
$O$: $={\cup }_{m\in M}{O}_m$、ここで、$O_m$は$T_{m}M$の全てのオリエンテーションたちのセット（集合）
$\ast o$: $:M\to O$、で以下を満たすもの、つまり、$o(m)\in O_m$
//

コンディションたち:
$\mathrm{\forall }m\in M(\mathrm{\exists }{U}_m\subseteq M\in \{m\text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}、\mathrm{\exists }(v_1,...,v_d)\in \{TM\text{ 上の }{U}_m\text{ 上方の全てのローカル }{C}^{\mathrm{\infty }}\text{ フレームたち }\}(\mathrm{\forall }{m}^{\prime }\in U_m([(v_1(m^{\prime }),...,v_d(m^{\prime }))]=o(m^{\prime }))))$
//

"コンディションたち"が要求されない時、$o$は"ポイント毎オリエンテーション"と呼ばれる。

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2: 注

言い換えると、任意のポイント毎オリエンテーションは、$M$の各ポイントに対するあるオリエンテーションの割り当てである。

"コンディションたち"は、その割り当てが"コンティニュアス（連続）"であるように要求する。

非コンティニュアス（連続）割り当てはそれ自体ではしばしば有用でないが、ポイント毎オリエンテーションが通常使われるケースは、第1に、あるポイント毎オリエンテーションが定義され、次に、当該ポイント毎オリエンテーションがオリエンテーションであると証明される、というものである。

本定義は、当該コンティニュアス（連続）割り当てが不可避に可能であると主張していない: それが言っているのは、単に、あるコンティニュアス（連続）割り当てが可能である時は、当該割り当ては"$M$のオリエンテーション"と呼ばれるということである。

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参考資料

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