\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーションの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーションの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( O\): \(= \cup_{m \in M} O_m\)、ここで、\(O_m\)は\(T_mM\)の全てのオリエンテーションたちのセット（集合）
\(*o\): \(: M \to O\)、で以下を満たすもの、つまり、\(o (m) \in O_m\)
//
コンディションたち:
\(\forall m \in M (\exists U_m \subseteq M \in \{m \text{ の全てのオープンネイバーフッド（開近傍）たち }\}、\exists (v_1, ..., v_d) \in \{TM \text{ 上の } U_m \text{ 上方の全てのローカル } C^\infty \text{ フレームたち }\} (\forall m' \in U_m ([(v_1 (m'), ..., v_d (m'))] = o (m'))))\)
//
"コンディションたち"が要求されない時、\(o\)は"ポイント毎オリエンテーション"と呼ばれる。
2: 注
言い換えると、任意のポイント毎オリエンテーションは、\(M\)の各ポイントに対するあるオリエンテーションの割り当てである。
"コンディションたち"は、その割り当てが"コンティニュアス（連続）"であるように要求する。
非コンティニュアス（連続）割り当てはそれ自体ではしばしば有用でないが、ポイント毎オリエンテーションが通常使われるケースは、第1に、あるポイント毎オリエンテーションが定義され、次に、当該ポイント毎オリエンテーションがオリエンテーションであると証明される、というものである。
本定義は、当該コンティニュアス（連続）割り当てが不可避に可能であると主張していない: それが言っているのは、単に、あるコンティニュアス（連続）割り当てが可能である時は、当該割り当ては"\(M\)のオリエンテーション"と呼ばれるということである。
