シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の2つの可能な意味たちの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の2つの可能な意味たちの記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{N}\):
\(S\): \(\subseteq \mathbb{N}\)
\(f\): \(\in \{S \text{ からの全てのシーケンス（列）たち }\}\)
\(\sigma\): \(: S \to S\), \(\in \{\text{ 全てのバイジェクション（全単射）たち }\}\)
\(\sigma (f)\): \(= f \circ \sigma\)
\(g\): \(= f \circ \sigma^{-1}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\sigma (f)\)は、シーケンス（列）のパーミュテーション（並べ替え）の定義による\(f\)の\(\sigma\)によるパーミュテーション（並べ替え）である、しかし、一部の人々は、"\(f\)の\(\sigma\)よるパーミュテーション（並べ替え）"を\(g\)と理解するかもしれない
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\sigma (f)\)が意味するものを見る; ステップ2: \(g\)が意味するものを見る。
ステップ1:
\(\sigma (f) := f \circ \sigma\)が意味するものを見よう。
各\(s \in S\)に対して、\(\sigma (f) (s) = f (\sigma (s))\)、それが意味するのは、\(\sigma (f)_j = f (\sigma (s_j)) = f (\sigma_j)\)、ここで、\(s_j \in S\)は\(S\)の\(j\)-番目要素、それが意味するのは、当該シーケンス（列）は\(f (\sigma_1), f (\sigma_2), ...\)であるということ。
注意として、当該パーミュテーション（並べ替え）をある項目をある位置へ移動することとみなす時、当該パーミュテーション（並べ替え）は\(\sigma_j\)項目を\(j\)-番目位置へ移動する。
例えば、\(S = \{1, 2, 3\}\)、\(f = 4, 5, 6\)、\(\sigma: (1, 2, 3) \mapsto (3, 1, 2)\)である時、\(\sigma (f) = f (\sigma (1)), f (\sigma (2)), f (\sigma (3)) = 6, 4, 5\)、それは、\(\sigma (1) = 3\)項目を\(1\)-番目位置へ移動し、\(\sigma (2) = 1\)項目を\(2\)-番目位置へ移動し、\(\sigma (3) = 2\)項目を\(3\)-番目位置へ移動している。
ステップ2:
本命題を私たちが記述した理由は、ステップ1は、一部の人々が"\(f\)の\(\sigma\)によるパーミュテーション（並べ替え）"で理解するものではないかもしれないこと。
彼らは、それを、\(j\)-番目項目を\(\sigma_j\)位置へ移動することと理解するかもしれない。
それは、\(g\)であって\(\sigma (f)\)ではないことを見よう。
\(j\)-番目項目を\(\sigma_j\)位置へ移動するパーミュテーション（並べ替え）を\(h\)と記そう。
\(f (s_j) = h (\sigma_j) = h (\sigma (s_j))\)。
\(t := \sigma (s_j)\)と取ると、\(s_j = \sigma^{-1} (t)\)、したがって、\(h (t) = f (s_j) = f (\sigma^{-1} (t)) = f \circ \sigma^{-1} (t)\)。
したがって、\(h = f \circ \sigma^{-1} = g\)であって、\(= f \circ \sigma := \sigma (f)\)ではない。
例えば、\(S = \{1, 2, 3\}\)、\(f = 4, 5, 6\)、\(\sigma: (1, 2, 3) \mapsto (3, 1, 2)\)である、それは上記の例と同じである、時、\(\sigma^{-1}: (1, 2, 3) \mapsto (2, 3, 1)\)で\(g = f (\sigma^{-1} (1)), f (\sigma^{-1} (2)), f (\sigma^{-1} (3)) = 5, 6, 4\)、それは、\(1\)-番目項目を\(3\)-番目位置へ移動し\(2\)-番目項目を\(1\)-番目位置へ移動し、\(3\)-番目項目を\(2\)-番目位置へ移動している。
3: 注
これは、それら2つの内のどちらが正しいかという問題ではなく、'\(f\)の\(\sigma\)によるパーミュテーション（並べ替え）'が何を意味するかを明確にし首尾一貫していることが必要であるということである。
