マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(*\wedge\): \(: \Lambda_{k_1} (V: F) \times \Lambda_{k_2} (V: F) \to \Lambda_{k_1 + k_2} (V: F), (t_1, t_2) \mapsto (k_1 + k_2)! / ({k_1}! {k_2}!) Asym (t_1 \otimes t_2)\)
//
コンディションたち:
//
\(\wedge (t_1, t_2)\)は、通常、\(t_1 \wedge t_2\)と記される。
2: 注
別の定義は、\(t_1 \wedge t_2 = Asym (t_1 \otimes t_2)\)と定義する。
係数たちの違いは、ウェッジプロダクト（楔積）の一部のプロパティたちに対する係数たちの違いたちに帰結する。
本当に、\(t_1 \wedge t_2 \in \Lambda_{k_1 + k_2} (V: F)\)である、なぜなら、\(t_1 \otimes t_2 \in L (V, ..., V: F)\)、\(Asym (t_1 \otimes t_2) \in \Lambda_{k_1 + k_2} (V: F)\)、\((k_1 + k_2)! / ({k_1}! {k_2}!) Asym (t_1 \otimes t_2) \in \Lambda_{k_1 + k_2} (V: F)\)。
ウェッジプロダクト（楔積）のいくつかのプロパティたちを見よう。
ウェッジプロダクト（楔積）はアソシアティブ（結合的）であることを見よう。
\((t_1 \wedge t_2) \wedge t_3 = (k_1 + k_2)! / ({k_1}! {k_2}!) Asym (t_1 \otimes t_2) \wedge t_3 = (k_1 + k_2 + k_3)! / ((k_1 + k_2)! {k_3}!) Asym ((k_1 + k_2)! / ({k_1}! {k_2}!) Asym (t_1 \otimes t_2) \otimes t_3) = (k_1 + k_2 + k_3)! / ((k_1 + k_2)! {k_3}!) (k_1 + k_2)! / ({k_1}! {k_2}!) Asym (Asym (t_1 \otimes t_2) \otimes t_3) = (k_1 + k_2 + k_3)! / ({k_1}! {k_2}! {k_3}!) Asym (t_1 \otimes t_2 \otimes t_3)\)、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）はアンチシンメトライゼーション（反対称化）たちをシーケンシャルに適用したものであるという命題によって。
\(t_1 \wedge (t_2 \wedge t_3) = t_1 \wedge (k_2 + k_3)! / ({k_2}! {k_3}!) Asym (t_2 \otimes t_3) = (k_1 + k_2 + k_3)! / ({k_1}! (k_2 + k_3)!) Asym (t_1 \otimes (k_2 + k_3)! / ({k_2}! {k_3}!) Asym (t_2 \otimes t_3)) = (k_1 + k_2 + k_3)! / ({k_1}! (k_2 + k_3)!) (k_2 + k_3)! / ({k_2}! {k_3}!) Asym (t_1 \otimes Asym (t_2 \otimes t_3)) = (k_1 + k_2 + k_3)! / ({k_1}! {k_2}! {k_3}!) Asym (t_1 \otimes t_2 \otimes t_3)\)、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）はアンチシンメトライゼーション（反対称化）たちをシーケンシャルに適用したものであるという命題によって。
したがって、\((t_1 \wedge t_2) \wedge t_3 = t_1 \wedge (t_2 \wedge t_3)\)。
したがって、\(t_1 \wedge ... \wedge t_n := (...((t_1 \wedge t_2) \wedge t_3) ... \wedge t_{n - 1}) \wedge t_n\)であるところ、それはいかなる方法でもアソシエイト（結合）できる。
\(t_1 \wedge ... \wedge t_n = (k_1 + ... + k_n)! / ({k_1}! ... {k_n}!) Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_n)\): それをインダクティブ（帰納的）に証明すると、それは\(n = 2\)の時成立する; それは\(n = 2, ..., n' - 1\)に対して成立すると仮定して、\(t_1 \wedge ... \wedge t_{n'} = (t_1 \wedge ... \wedge t_{n' - 1}) \wedge t_{n'} = (k_1 + ... + k_{n' - 1})! / ({k_1}! ... {k_{n' - 1}}!) Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_{n' - 1}) \wedge t_{n'} = (k_1 + ... + k_{n'})! / ((k_1 + ... + k_{n' - 1})! {k_{n'}}!) Asym ((k_1 + ... + k_{n' - 1})! / ({k_1}! ... {k_{n' - 1}}!) Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_{n' - 1}) \otimes t_{n'}) = (k_1 + ... + k_{n'})! / ((k_1 + ... + k_{n' - 1})! {k_{n'}}!) (k_1 + ... + k_{n' - 1})! / ({k_1}! ... {k_{n' - 1}}!) Asym (Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_{n' - 1}) \otimes t_{n'}) = (k_1 + ... + k_{n'})! / ({k_1}! ... {k_{n'}}!) Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_{n'})\)、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）のアンチシンメトライゼーション（反対称化）はアンチシンメトライゼーション（反対称化）たちをシーケンシャルに適用したものであるという命題によって。
\(t_1 \wedge ... \wedge (r t_j + r' t'_j) \wedge ... \wedge t_n = r t_1 \wedge ... \wedge t_j \wedge ... \wedge t_n + r' t_1 \wedge ... \wedge t'_j \wedge ... \wedge t_n\)、なぜなら、\(t_1 \wedge ... \wedge (r t_j + r' t'_j) \wedge ... \wedge t_n = (k_1 + ... + k_n)! / ({k_1}! ... {k_n}!) Asym (t_1 \otimes ... \otimes (r t_j + r' t'_j) \otimes ... \otimes t_n) = (k_1 + ... + k_n)! / ({k_1}! ... {k_n}!) Asym (r t_1 \otimes ... \otimes t_j \otimes ... \otimes t_n + r' t_1 \otimes ... \otimes t'_j \otimes ... \otimes t_n)\)、テンソルたちのテンソルプロダクト（積）の当該プロパティによって、\(= (k_1 + ... + k_n)! / ({k_1}! ... {k_n}!) (r Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_j \otimes ... \otimes t_n) + r' Asym (t_1 \otimes ... \otimes t'_j \otimes ... \otimes t_n))\)、任意の、テンソルのアンチシンメトライゼーション（反対称化）マップ（写像）はリニア（線形）であるという命題によって、\(= r (k_1 + ... + k_n)! / ({k_1}! ... {k_n}!) Asym (t_1 \otimes ... \otimes t_j \otimes ... \otimes t_n) + r' (k_1 + ... + k_n)! / ({k_1}! ... {k_n}!) Asym (t_1 \otimes ... \otimes t'_j \otimes ... \otimes t_n) = r t_1 \wedge ... \wedge t_j \wedge ... \wedge t_n) + r' t_1 \wedge ... \wedge t'_j \wedge ... \wedge t_n\)。
\((t^1, ..., t^k)\)が\(V^*\)の要素たちの任意のコンビネーションであり\(\sigma \in S_k\)が任意である時、各\(v_1, ..., v_k \in V\)に対して、\(t^{\sigma_1} \wedge ... \wedge t^{\sigma_k} (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_1}) = t^1 \wedge ... \wedge t^k (v_1, ..., v_k)\)、任意のベクトルたちスペース（空間）およびその任意のコベクトルたちコンビネーションに対して、当該コベクトルたちコンビネーションに任意のパーミュテーション（並べ替え）を行なったものテンソルプロダクト（積）にアンチシンメトライゼーション（反対称化）を行なったものを、任意のベクトルたちコンビネーションに同じパーミュテーション（並べ替え）を行なったものへ作用させたものは、当該コベクトルたちコンビネーションのテンソルプロダクト（積）にアンチシンメトライゼーション（反対称化）を行なったものを、当該ベクトルたちコンビネーションへ作用させたものであるという命題によって、なぜなら、\(t^{\sigma_1} \wedge ... \wedge t^{\sigma_k} = k! Asym (t^{\sigma_1} \otimes ... \otimes t^{\sigma_k})\)および\(t^1 \wedge ... \wedge t^k = k! Asym (t^1 \otimes ... \otimes t^k)\)。
\((t^1, ..., t^k)\)が\(V^*\)の要素たちの任意のコンビネーションであり\(\sigma \in S_k\)は任意である時、\(t^{\sigma_1} \wedge ... \wedge t^{\sigma_k} = sgn \sigma t^1 \wedge ... \wedge t^k\)、なぜなら、\(t^{\sigma_1} \wedge ... \wedge t^{\sigma_k} (v_1, ..., v_k) = t^{\sigma_1} \wedge ... \wedge t^{\sigma_k} (v_{(\sigma \circ \sigma^{-1})_1}, ..., v_{(\sigma \circ \sigma^{-1})_k}) = t^1 \wedge ... \wedge t^k (v_{\sigma^{-1}_1}, ..., v_{\sigma^{-1}_k})\)、上記結果によって、\(= sgn \sigma^{-1} t^1 \wedge ... \wedge t^k (v_1, ..., v_k)\)、なぜなら、\(t^1 \wedge ... \wedge t^k\)はアンチシンメトリック（反対称）である、しかし、\(sgn \sigma^{-1} = sgn \sigma\)。
その上に\((t^1, ..., t^k)\)は任意の重複を持っている時、\(t^1 \wedge ... \wedge t^k = 0\)、なぜなら、\(t^m = t^n\)であると仮定して、\(\sigma\)を\(m\)と\(n\)をスイッチするパーミュテーション（並べ替え）（\(sgn \sigma = -1\)）と取ると、\(t^1 \wedge ... t^m \wedge ... \wedge t^n ... \wedge t^k = - t^1 \wedge ... t^n \wedge ... \wedge t^m ... \wedge t^k = - t^1 \wedge ... t^m \wedge ... \wedge t^n ... \wedge t^k\)。
\(t_1 \in \Lambda_{k_1} (V: F)\)、ある\(k_1\)-コベクトル、および\(t_2 \in \Lambda_{k_2} (V: F)\)、ある\(k_2\)-コベクトル、である時、\(t_2 \wedge t_1 = (-1)^{k_1 k_2} t_1 \wedge t_2\)、なぜなら、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題によって、\(t_1 = {t_1}_{j_1, ..., j_{k_1}} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{k_1}}\)および\(t_2 = {t_2}_{l_1, ..., l_{k_2}} b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_{k_2}}\)、そして、\(t_2 \wedge t_1 = ({t_2}_{l_1, ..., l_{k_2}} b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_{k_2}}) \wedge ({t_1}_{j_1, ..., j_{k_1}} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{k_1}}) = {t_1}_{j_1, ..., j_{k_1}} {t_2}_{l_1, ..., l_{k_2}} b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_{k_2}} \wedge b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{k_1}}\)、しかし、各\(b^m\)は\(V^*\)の要素であるから、第1に、\(b^{j_1}\)は\(b^{l_1}\)の前へ\(k_2\)個トランスポジション（置換）たちによって移動することができ（その各々は\(-1\)因子を与えて全体で\((-1)^{k_2}\)因子になる）、次に、\(b^{j_2}\)は\(b^{l_1}\)の前へ移動することができて\((-1)^{k_2}\)因子を与え、...、結局、\(b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_{k_2}} \wedge b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{k_1}}\)は\(b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{k_1}} \wedge b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_{k_2}}\)に変えられて\({{-1}^{k_2}}^{k_1} = {-1}^{k_1 k_2}\)因子が付く、そして、\(= {-1}^{k_1 k_2} {t_1}_{j_1, ..., j_{k_1}} {t_2}_{l_1, ..., l_{k_2}} b^{j_1} \wedge ... \wedge b^{j_{k_1}} \wedge b^{l_1} \wedge ... \wedge b^{l_{k_2}} = {-1}^{k_1 k_2} t_1 \wedge t_2\)。
その上に、\(k_1 = k_2 = k\)および\(t_1 = t_2 = t\)である時、\(k\)が奇数である時、\(t \wedge t = 0\)、なぜなら、\(t \wedge t = (-1)^{k^2} t \wedge t = - t \wedge t\); \(k\)が偶数である時、\(t \wedge t\)は必ずしも\(0\)ではない: \(t \wedge t = (-1)^{k^2} t \wedge t = t \wedge t\)は\(t \wedge t = 0\)を含意しない: 例えば、\(k = 2\)および\(t = t_{1, 2} b^1 \wedge b^2 + t_{3, 4} b^3 \wedge b^4\)、すると、\(t \wedge t = (t_{1, 2} b^1 \wedge b^2 + t_{3, 4} b^3 \wedge b^4) \wedge (t_{1, 2} b^1 \wedge b^2 + t_{3, 4} b^3 \wedge b^4) = t_{1, 2} t_{3, 4} b^1 \wedge b^2 \wedge b^3 \wedge b^4 + t_{1, 2} t_{3, 4} b^3 \wedge b^4 \wedge b^1 \wedge b^2 = t_{1, 2} t_{3, 4} b^1 \wedge b^2 \wedge b^3 \wedge b^4 + t_{1, 2} t_{3, 4} b^1 \wedge b^2 \wedge b^3 \wedge b^4 = 2 t_{1, 2} t_{3, 4} b^1 \wedge b^2 \wedge b^3 \wedge b^4 \neq 0\); もしも、\(t = t_{1, 2} b^1 \wedge b^2\)である場合、\(t \wedge t = 0\)、したがって、場合によっては、\(t \wedge t = 0\)、ある\(t \neq 0\)に対して。
