コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であることの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times n R \text{ マトリックス（行列）たち } \}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times o R \text{ マトリックス（行列）たち } \}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\((M_1 M_2)^t = {M_2}^t {M_1}^t\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M_1 = \begin{pmatrix} {M_1}^j_l \end{pmatrix}\)および\(M_2 = \begin{pmatrix} {M_2}^l_m \end{pmatrix}\)とする; ステップ2: \((M_1 M_2)^t\)の全てのコンポーネントたちを見る; ステップ3: \({M_2}^t {M_1}^t\)の全てのコンポーネントたちを見て、本命題を結論する。
ステップ1:
\(M_1 = \begin{pmatrix} {M_1}^j_l \end{pmatrix}\)および\(M_2 = \begin{pmatrix} {M_2}^l_m \end{pmatrix}\)としよう。
ステップ2:
\(M_1 M_2 = \begin{pmatrix} {M_1}^j_l {M_2}^l_m \end{pmatrix}\)。
\({(M_1 M_2)^t}^j_m = {M_1}^m_l {M_2}^l_j\)。
ステップ3:
\(({M_2}^t {M_1}^t)^j_m = {{M_2}^t}^j_l {{M_1}^t}^l_m = {M_2}^l_j {M_1}^m_l = {M_1}^m_l {M_2}^l_j\)、なぜなら、\(R\)はコミュータティブ（可換）リング（環）である、\(= {(M_1 M_2)^t}^j_m\)、ステップ2の結果によって。
