トポロジカルスペース（空間）に対して、サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）たちのクロージャー（閉包）たちのインターセクション（共通集合）内に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq T \vert j \in J\}\):
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{\cap_{j \in J} S_j} \subseteq \cap_{j \in J} \overline{S_j}\)
//
2: 注
等号は必ずしも成立しない、もしも、\(J\)がファイナイト（有限）である場合でも。
例えば、\(T = \mathbb{R}\)をユークリディアントポロジーを持つもの、\(\{S_1 = (-1, 0), S_2 = (0, 1)\}\)とすると、\(\overline{\cap_{j \in J} S_j} = \overline{(-1, 0) \cap (0, 1)} = \overline{\emptyset} = \emptyset \subset \cap_{j \in J} \overline{S_j} = \overline{(-1, 0)} \cap \overline{(0, 1)} = [-1, 0] \cap [0, 1] = \{0\}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\cap_{j \in J} S_j \subseteq \cap_{j \in J} \overline{S_j}\)であり\(\cap_{j \in J} \overline{S_j}\)はクローズド（閉）であることを見る。
ステップ1:
\(S_j \subseteq \overline{S_j}\)であるので、\(\cap_{j \in J} S_j \subseteq \cap_{j \in J} \overline{S_j}\)。
\(\cap_{j \in J} \overline{S_j}\)はクローズド（閉）である、クローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）として。
したがって、\(\cap_{j \in J} \overline{S_j}\)は、\(\cap_{j \in J} S_j\)を包含するクローズドサブセット（閉部分集合）である。
\(\overline{\cap_{j \in J} S_j}\)は、\(\cap_{j \in J} S_j\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるので、\(\overline{\cap_{j \in J} S_j} \subseteq \cap_{j \in J} \overline{S_j}\)である。
