トポロジカルスペース（空間）に対して、もしも、サブセット（部分集合）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）がオープンサブセット（開部分集合）サブスペース（部分空間）上でクローズド（閉）である場合、インターセクション（共通集合）はサブセット（部分空間）のクロージャー（閉包）とオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）に等しいことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）トポロジーの定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のクローズドサブセット（閉部分集合）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブセット（部分集合）、任意のオープンサブセット（開部分集合）に対して、もしも、当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）が当該オープンサブセット（開部分集合）サブスペース（部分空間）上でクローズド（閉）である場合、当該インターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分空間）のクロージャー（閉包）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）に等しいという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
\(U\): \(\in \{T \text{ の全てのオープンサブセット（開部分集合）たち }\}\)で、サブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
//
ステートメント（言明）たち:
\(S \cap U \in \{U \text{ の全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たち }\}\)
\(\implies\)
\(S \cap U = \overline{S} \cap U\)、ここで、\(\overline{S}\)は\(S\)の\(T\)上におけるクロージャー（閉包）である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S \cap U = \overline{S \cap U} \cap U\)であることを見る; ステップ2: \(S \cap U \subseteq \overline{S} \cap U \subseteq \overline{S \cap U}\)であることを見る; ステップ3: \(S \cap U \subseteq \overline{S} \cap U \subseteq \overline{S \cap U} \cap U\)であることを見る。
ステップ1:
以下を満たすあるクローズドサブセット（閉部分集合）\(C \subset T\)、つまり、\(S \cap U = C \cap U\)、がある、サブスペース（部分空間）トポロジーの定義によって。
\(S \cap U \subseteq C\)および\(\overline{S \cap U} \subseteq C\)、ここで、当該クロージャー（閉包）は\(T\)上のものである、なぜなら、クロージャー（閉包）は、関心事のサブセット（部分集合）を包含する最小クローズドサブセット（閉部分集合）である。
すると、\(C\)は\(\overline{S \cap U}\)であるように取れる、それは、\(T\)のクローズドサブセット（閉部分集合）である、\(S \cap U\)を包含する、したがって、当該入れ替えは\(S \cap U\)上の何らのポイントも失わない、\(C\)内に包含されている、したがって、当該入れ替えは何らの余分なポイントも追加しない。したがって、\(S \cap U = \overline{S \cap U} \cap U\)。
ステップ2:
他方で、\(S \cap U \subseteq \overline{S} \cap U \subseteq \overline{S \cap U}\)、任意のトポロジカルスペース（空間）に対して、任意のサブセット（部分集合）のクロージャー（閉包）と任意のオープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）は当該サブセット（部分集合）と当該オープンサブセット（開部分集合）のインターセクション（共通集合）のクロージャー（閉包）に包含されているという命題によって。
ステップ3:
それの\(U\)とのインターセクション（共通集合）を取ることによって、\(S \cap U \cap U = S \cap U \subseteq \overline{S} \cap U \cap U = \overline{S} \cap U \subseteq \overline{S \cap U} \cap U\)。しかし、その第1項と最終項は等しいから、中間項はそれらに等しい、したがって、\(S \cap U = \overline{S} \cap U\)。
3: 注
\(U\)は本命題においてオープン（開）でなければならない: 例えば、もしも、\(U\)がオープン（開）でない場合、以下の反例がある: \(T = \mathbb{R}\)でユークリディアントポロジーを持つもの、\(U = [0, 1]\)、\(S = (-1, 0)\)、すると、\(S \cap U = \emptyset\)、クローズド（閉）、しかし、\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap [0, 1] = \{0\}\)。そういう反例は\(U\)がオープン（開）である時はうまくいかない、なぜなら、もしも、\(U = (0, 1)\)である場合、\(S \cap U = (-1, 0) \cap (0, 1) = \emptyset\)および\(\overline{S} \cap U = [-1, 0] \cap (0, 1) = \emptyset\)、そして、もしも、任意の\(0 \lt p \lt 1\)に対して\(U = (-p, 1)\)である場合、\(S \cap U = (-1, 0) \cap (-p, 1) = (-p, 0)\)、それはクローズド（閉）であるない。
