チャートドメイン（定義域）の、ポイントに関する\(J\)-スライスの定義
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、チャートドメイン（定義域）の、ポイントに関する\(J\)-スライスの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } d' \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち } \}\)
\( (U \subseteq M, \phi)\): \(\in \{M \text{ に対する全てのチャートたち }\}\)
\( J\): \(\subseteq \{1, ..., d'\}\), \(= (j_1, ..., j_d)\)
\( u\): \(\in U\)
\( S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\): \(= \{r \in \mathbb{R}^{d'} \vert \forall j \in \{1, ..., d'\} \setminus J (r^j = \phi (u)^j)\}\)
\(*S_{J, u} (U)\): \(\subseteq U\)
//
コンディションたち:
\(\phi (S_{J, u} (U)) = \phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\)
//
2: 注
\(S_{J, u} (U)\)は、任意の\(J\)および任意の\(u\)に対して非空サブセット（部分集合）として不可避に存在する、なぜなら、\(\phi (u) \in \phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\)および\(S_{J, u} (U) = \phi^{-1} (\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}))\)。
\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\)は、\(\{(\phi (u)^1, ..., x^{j_1}, ..., x^{j_d}, ..., \phi (u)^{d'}) \vert \forall j_l \in J (x^{j_l} \in \mathbb{R})\}\)のようである、ここで、第1コンポーネントが本当は\(\phi (u)^1\)か\(x^{j_1}\)かおよび最後のコンポーネントは本当は\(\phi (u)^{d'}\)か\(x^{j_d}\)かは\(J\)に依存する。
\(\pi_J: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d, (x^1, ..., x^{j_1}, ..., x^{j_d}, ..., x^{d'}) \mapsto (x^{j_1}, ..., x^{j_d})\)をプロジェクション（射影）としよう、ここで第1コンポーネントが本当は\(x^1\)か\(x^{j_1}\)かおよび最後のコンポーネントが本当は\(x^{d'}\)か\(x^{j_d}\)かは\(J\)に依存する。
\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})}: S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \subseteq \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)はディフェオモーフィズムである、なぜなら、それはバイジェクティブ（全単射）であり\(C^\infty\)である（\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(\pi_J: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)がある）、そして、インバース（逆）は\(C^\infty\)である。特に、\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(d' \in J\)である時、\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}}: S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'} \subseteq \mathbb{H}^{d'} \to \mathbb{H}^d\)はディフェオモーフィズムである: それは、\(: (\phi (u)^1, ..., x^{j_1}, ..., x^{j_d}) \mapsto (x^{j_1}, ..., x^{j_d})\)のようである、ここで、\(0 \le x^{j_d}\)、それは、バイジェクティブ（全単射）であり\(C^\infty\)である（\(\mathbb{H}^{d'}\)に対するスタンダード（標準）チャートおよび\(\mathbb{H}^d\)に対するスタンダード（標準）チャートがあり、コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)である、なぜなら、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(\pi_J: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)を持つ）、そして、インバース（逆）は\(C^\infty\)である（\(\mathbb{H}^d\)に対するスタンダード（標準）チャートおよび\(\mathbb{H}^{d'}\)に対するスタンダード（標準）チャートがあり、コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)である、なぜなら、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)エクステンション（拡張）、\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})}: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\))のインバース（逆）、を持つ。特に、\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。
\(d' \notin J\)かつ\(0 \le \phi (u)^{d'}\)である時（私たちは、\(\phi (u)^{d'} \lt 0\)ケースを必要としない、なぜなら、これを私たちはチャートがバウンダリー（境界）チャートである時のためのみに必要とし、それは、\(0 \le \phi (u)^{d'}\)を保証する）、\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}}: S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'} \subseteq \mathbb{H}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)はディフェオモーフィズムである: それは、\(: (\phi (u)^1, ..., x^{j_1}, ..., x^{j_d}, ..., \phi (u)^{d'}) \mapsto (x^{j_1}, ..., x^{j_d})\)のようである、それは、バイジェクティブ（全単射）であり\(C^\infty\)である（\(\mathbb{H}^{d'}\)に対するスタンダード（標準）チャートおよび\(\mathbb{R}^d\)に対するスタンダード（標準）チャート があり、コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)である、なぜなら、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)エクステンション（拡張）\(\pi_J: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)を持つ）、そして、インバース（逆）は\(C^\infty\)である（\(\mathbb{R}^d\)に対するスタンダード（標準）チャートおよび\(\mathbb{H}^{d'}\)に対するスタンダード（標準）チャートがあり、コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)である、なぜなら、当該コンポーネントたちファンクション（関数）は\(C^\infty\)エクステンション（拡張）、\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})}: \mathbb{R}^{d'} \to \mathbb{R}^d\)のインバース（逆）を持つ）。特に、\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}}\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である。条件\(0 \le \phi (u)^{d'}\)は必要である、なぜなら、そうでなければ、\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'} = \emptyset\)、それは、\(\mathbb{R}^d\)へホメオモーフィック（位相同形写像）でないであろう。
当該チャートはインテリア（内部）チャートであると仮定しよう。
\(\phi (U)\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(\phi (S_{J, u} (U))\)は\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \subseteq \mathbb{R}^{d'}\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(\pi_J (\phi (S_{J, u} (U))) = \pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})} (\phi (S_{J, u} (U)))\)は\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(\pi_J \circ \phi \vert_{S_{J, u} (U)}: S_{J, u} (U) \subseteq U \to \pi_J (\phi (S_{J, u} (U))) \subseteq \mathbb{R}^d\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、それは、\(\pi_J \vert_{\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})} \circ \phi \vert_{S_{J, u} (U)}\)であり、\(\phi \vert_{S_{J, u} (U)}: S_{J, u} (U) \subseteq U \to \phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \subseteq \phi (U)\)および\(\pi_J \vert_{\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})}: \phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \subseteq S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \to \pi_J (\phi (S_{J, u} (U))) \subseteq \mathbb{R}^d\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである、ホメオモーフィック（位相同形写像）な\(\phi\)および\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})}\)のリストリクション（制限）たちとして: \(\phi \vert_{S_{J, u} (U)}\)のコドメイン（余域）としての\(\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\)は\(\phi (U)\)のサブスペース（部分空間）である、しかし、\(\phi (U)\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）であるから、当該コドメイン（余域）は\(\mathbb{R}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）である、トポロジカルサブスペース（部分空間）たちの任意のネストにおいて、任意のサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）のオープン（開）性は、当該サブスペース（部分空間）がサブスペース（部分空間）とみなされる元のスーパースペース（空間）に依存しないという命題によって、その一方で、\(\pi_J \vert_{\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})}\)のドメイン（定義域）としての\(\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\)は\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\)のサブスペース（部分空間）である、しかし、\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'})\)は\(\mathbb{R}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）であるから、当該ドメイン（定義域）は\(\mathbb{R}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）である、同様に。
当該チャートはバウンダリー（境界）チャートであると仮定しよう。
\(\phi (U)\)は\(\mathbb{H}^{d'}\)のオープンサブセット（開部分集合）であり、\(\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) = \phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}\)。
したがって、\(\phi (S_{J, u} (U))\)は\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'} \subseteq \mathbb{H}^{d'}\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
したがって、\(\pi_J (\phi (S_{J, u} (U))) = \pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}} (\phi (S_{J, u} (U)))\)は\(\mathbb{H}^d\)または\(\mathbb{R}^d\)のオープンサブセット（開部分集合）である、\(d' \in J\)または\(d' \notin J\)に応じて。
\(\pi_J \circ \phi \vert_{S_{J, u} (U)}: S_{J, u} (U) \subseteq U \to \pi_J (\phi (S_{J, u} (U))) \subseteq \mathbb{H}^d \text{ or } \mathbb{R}^d\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）である、なぜなら、それは、\(\pi_J \vert_{\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}} \circ \phi \vert_{S_{J, u} (U)}\)であり、\(\phi \vert_{S_{J, u} (U)}: S_{J, u} (U) \subseteq U \to \phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'} \subseteq \phi (U)\)および\(\pi_J \vert_{\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}}: \phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'} \subseteq S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'} \to \pi_J (\phi (S_{J, u} (U))) \subseteq \mathbb{H}^d \text{ or } \mathbb{R}^d\)はホメオモーフィズム（位相同形写像）たちである、ホメオモーフィック（位相同形写像）な\(\phi\)および\(\pi_J \vert_{S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}}\)のリストリクション（制限）たちとして: \(\phi \vert_{S_{J, u} (U)}\)のコドメイン（余域）としての\(\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}\)は\(\phi (U)\)のサブスペース（部分空間）である、しかし、\(\phi (U)\)は\(\mathbb{H}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）であるから、当該コドメイン（余域）は\(\mathbb{H}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）である、前と同様、その一方で、\(\pi_J \vert_{\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}}\)のドメイン（定義域）としての\(\phi (U) \cap S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}\)は\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）である、しかし、\(S_{J, \phi (u)} (\mathbb{R}^{d'}) \cap \mathbb{H}^{d'}\)は\(\mathbb{H}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）であるから、当該ドメイン（定義域）は\(\mathbb{H}^{d'}\)のサブスペース（部分空間）である、同様に。
それらの事実について詳述した理由は、任意の\(S \subseteq M\)である特定の条件（"ローカル-スライス条件"または"ローカル-スライス-または-ハーフ-スライス条件"と呼ばれる）を満たすものに対して、あるチャート\((S_{J, u} (U) \subseteq S, \pi_J \circ \phi \vert_{S_{J, u} (U)})\)を構築する、\(S\)を\(M\)のエンベッデッドサブマニフォールド（部分多様体）、バウンダリー（境界）付きにするために、つもりであること。
