コミュータティブ（可換）リング（環）に対して、レクタンギュラー（長方）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）のいくつかの展開たちの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のレクタンギュラー（長方）マトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のデターミナント（行列式）のいくつかの展開たちが成立するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(R\): \(\in \{\text{ 全てのコミュータティブ（可換）リング（環）たち }\}\)
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } m \times n R \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
\(N\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times m R \text{ マトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(det (M N) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} ... \sum_{l_m \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} ... M^m_{l_m} det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ ... \\ N^{l_m}_1 & ... & N^{l_m}_m \end{pmatrix}\)
\(\land\)
\(det (M N) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} ... \sum_{l_m \in \{1, ..., n\}} N^{l_1}_1 ... N^{l_m}_m det \begin{pmatrix} M^1_{l_1} & ... & M^1_{l_m} \\ ... \\ M^m_{l_1} & ... & M^m_{l_m} \end{pmatrix}\)
//
2: 注
当該リング（環）はコミュータティブ（可換）である必要がある、なぜなら、"証明"内で言及されている"デターミナント（行列式）のよく知られているプロパティたち"がそれを要求する。
当該展開たちは次のことを主張する、\(n \lt m\)である時は、当該デターミナント（行列式）は不可避に\(0\)である、なぜなら、各\(det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ ... \\ N^{l_m}_1 & ... & N^{l_m}_m \end{pmatrix}\)は非ゼロにはなれない、なぜなら、一部の行たちは不可避に重複する。
例えば、\(m = 2\)および\(n = 1\)である時、\(M = \begin{pmatrix} M^1_1 \\ M^2_1 \end{pmatrix}\)および\(N = \begin{pmatrix} N^1_1 & N^1_2 \end{pmatrix}\)、そして、\(det (M N) = det \begin{pmatrix} M^1_1 N^1_1 & M^1_1 N^1_2 \\ M^2_1 N^1_1 & M^2_1 N^1_2 \end{pmatrix} = M^1_1 N^1_1 M^2_1 N^1_2 - M^2_1 N^1_1 M^1_1 N^1_2 = 0\): コミュータティビティ（可換性）が要求される。
任意のスクウェア（正方）マトリックス（行列）はレクタンギュラー（長方）マトリックス（行列）であるから、\(M\)および\(N\)は\(m \times m\)マトリックス（行列）たちであり得る。
そのケースでは、\(det (M N) = det M det N\)も成立する。
\(m \neq n\)ケースに対しては、"\(det (M N) = det M det N\)"は意味をなさない、なぜなら、\(det M\)および\(det N\)の各々は定義されていない。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M N\)のコンポーネントたちを見よう; ステップ2: \(det (M N)\)を第1行に関して展開し、次に第2行に関して展開し、...; ステップ3: \(det (M N) = det ((M N)^t) = det (N^t M^t)\)を使い、ステップ2の結果を適用する。
ステップ1:
\(M N = \begin{pmatrix} \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^j_l N^l_o \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^1_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^1_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix}\)。
ステップ2:
\(M N\)の第1行は、\((\sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} N^{l_1}_1, ... , \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} N^{l_1}_m) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} (M^1_{l_1} N^{l_1}_1, ... , M^1_{l_1} N^{l_1}_m)\)と書ける。
デターミナント（行列式）のよく知られているあるプロパティによって、\(det (M N) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} det \begin{pmatrix} M^1_{l_1} N^{l_1}_1 & ... & M^1_{l_1} N^{l_1}_m \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^2_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^2_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix}\)。
デターミナント（行列式）のよく知られているあるプロパティによって、\(det (M N) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^2_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^2_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix}\)。
それら新たなデターミナント（行列式）たちの各々に対して、第2行は\((\sum_{l_2 \in \{1, ..., n\}} M^2_{l_2} N^{l_2}_1 ... \sum_{{l_2} \in \{1, ..., n\}} M^2_{l_2} N^{l_2}_m) = \sum_{l_2 \in \{1, ..., n\}} (M^2_{l_2} N^{l_2}_1, ... , M^2_{l_2} N^{l_2}_m)\)と書ける。
デターミナント（行列式）のよく知られているあるプロパティによって、\(det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^2_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^2_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix} = \sum_{l_2 \in \{1, ..., n\}} det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ M^2_{l_2} N^{l_2}_1 & ... & M^2_{l_2} N^{l_2}_m \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix}\)。
デターミナント（行列式）のよく知られているあるプロパティによって、\(= \sum_{l_2 \in \{1, ..., n\}} M^2_{l_2} det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ N^{l_2}_1 & ... & N^{l_2}_m \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix}\)。
したがって、\(det (M N) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} \sum_{l_2 \in \{1, ..., n\}} M^2_{l_2} det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ N^{l_2}_1 & ... & N^{l_2}_m \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix} = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} \sum_{l_2 \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} M^2_{l_2} det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ N^{l_2}_1 & ... & N^{l_2}_m \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^3_l N^l_m \\ ... \\ \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_1 & ... & \sum_{l \in \{1, ..., n\}} M^m_l N^l_m \end{pmatrix}\)。
等々と続く、結局、\(det (M N) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} ... \sum_{l_m \in \{1, ..., n\}} M^1_{l_1} ... M^m_{l_m} det \begin{pmatrix} N^{l_1}_1 & ... & N^{l_1}_m \\ ... \\ N^{l_m}_1 & ... & N^{l_m}_m \end{pmatrix}\)。
ステップ3:
\(det (M N) = det ((M N)^t) = det (N^t M^t)\)。
ステップ2の結果によって、\(det (N^t M^t) = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} ... \sum_{l_m \in \{1, ..., n\}} N^{l_1}_1 ... N^{l_m}_m det \begin{pmatrix} M^1_{l_1} & ... & M^m_{l_1} \\ ... \\ M^1_{l_m} & ... & M^m_{l_m} \end{pmatrix} = \sum_{l_1 \in \{1, ..., n\}} ... \sum_{l_m \in \{1, ..., n\}} N^{l_1}_1 ... N^{l_m}_m det \begin{pmatrix} M^1_{l_1} & ... & M^1_{l_m} \\ ... \\ M^m_{l_1} & ... & M^m_{l_m} \end{pmatrix}\)。
