ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）はアイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、ユニタリマトリックス（行列）に右からポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、ことの記述/証明
話題
About: マトリックス（行列）たちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、ユニタリマトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、オーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）の定義を知っている。
- 読者は、任意のエルミートマトリックス（行列）はダイアゴナル（対角）にできる、あるユニタリマトリックス（行列）によって、不可避にリアル（実）になって、という命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）は、アイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、あるユニタリマトリックス（行列）に右からあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M\): \(\in \{\text{ 全てのポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists U \in \{\text{ 全てのユニタリマトリックス（行列）たち }\}, \exists D \in \{\text{ 全てのポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）たち }\} ((U D)^* M (U D) = I)\)
//
\((U D)^* M (U D) = D^* U^* M U D = D^t U^{-1} M U D\)、なぜなら、\(U\)はユニタリであり\(D\)はリアル（実）である。\(= D U^{-1} M U D\)、なぜなら、\(D\)はシンメトリック（対称）である。
\(M\)がリアル（実）シンメトリック（対称）（それは、エルミートである）である時は、\(U\)はオーソゴーナル（直交）に取れる、それはユニタリである、そして、\((U D)^* M (U D) = (U D)^t M (U D) = I\)。
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 以下を満たすある\(U\)、つまり、\(M' = U^* M U = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}\)はポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）である、がある; ステップ2: \(D = \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{\lambda_1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 / \sqrt{\lambda_2} & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & 1 / \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix}\)を取り、\((U D)^* M (U D) = I\)であることを見る。
ステップ1:
以下を満たすある\(U\)、つまり、\(M' = U^* M U = \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & \lambda_n \end{pmatrix}\)はポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）である、がある、任意のエルミートマトリックス（行列）はダイアゴナル（対角）にできる、あるユニタリマトリックス（行列）によって、不可避にリアル（実）になって、という命題によって。
\(M\)はポジティブデフィニット（正定値）であるので、各\(\lambda_j\)はポジティブ（正）である: そうでなければ、\(v^* (U^* M U) v\)はある非ゼロ\(v\)に対して非ポジティブ（正）だということになり、\(= (U v)^* M (U v)\)、\(U v\)が非ゼロで非ポジティブ（正）結果になる、矛盾: \(U v \neq 0\)、なぜなら、\((U v)^* (U v) = v^* U^* U v = v^* I v = v^* v \neq 0\)。
ステップ2:
\(D := \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{\lambda_1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 / \sqrt{\lambda_2} & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & 1 / \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix}\)を定義しよう。
\((U D)^* M (U D) = D^* U^* M U D = D^* (U^* M U) D = \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{\lambda_1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 / \sqrt{\lambda_2} & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & 1 / \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 & 0 & ... & 0 \\ 0 & \lambda_2 & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & \lambda_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 / \sqrt{\lambda_1} & 0 & ... & 0 \\ 0 & 1 / \sqrt{\lambda_2} & ... & 0 \\ ... \\ 0 & ... & 0 & 1 / \sqrt{\lambda_n} \end{pmatrix} = I\)。
