2025年6月8日日曜日

1153: ユークリディアンベクトルたちスペース(空間)でユークリディアンインナープロダクト(内積)を持つもの、非ゼロベクトル、リアル(実)ポジティブデフィニット(正定値)シンメトリック(対称)マトリックス(行列)に対して、ベクトルで非ゼロベクトルとのインナープロダクト(内積)を最大化する、マトリックス(行列)によるそのバイリニアフォーム(二次形式)が1であるという条件のもとに、ものはこれである

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ユークリディアンベクトルたちスペース(空間)でユークリディアンインナープロダクト(内積)を持つもの、非ゼロベクトル、リアル(実)ポジティブデフィニット(正定値)シンメトリック(対称)マトリックス(行列)に対して、ベクトルで非ゼロベクトルとのインナープロダクト(内積)を最大化する、マトリックス(行列)によるそのバイリニアフォーム(二次形式)が1であるという条件のもとに、ものはこれであることの記述/証明

話題


About: ベクトルたちスペース(空間)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のユークリディアンベクトルたちスペース(空間)でユークリディアンインナープロダクト(内積)を持つもの、任意の非ゼロベクトル、任意のリアル(実)ポジティブデフィニット(正定値)シンメトリック(対称)マトリックス(行列)に対して、ベクトルで当該非ゼロベクトルとのインナープロダクト(内積)を最大化する、当該マトリックス(行列)によるそのバイリニアフォーム(二次形式)が1であるという条件のもとに、ものはこれであるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(\mathbb{R}^n\): \(= \text{ 当該ユークリディアンベクトルたちスペース(空間) }\)でユークリディアンインナープロダクト(内積)\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(v_0\): \(\in \mathbb{R}^n\)で、\(v \neq 0\)を満たすもの
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ リアル(実)ポジティブデフィニット(正定値)シンメトリック(対称)マトリックス(行列)たち }\}\)
\(f\): \(: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, v \mapsto \langle v, v_0 \rangle\)
\(g\): \(: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, v \mapsto \langle M v, v \rangle\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(v \in \mathbb{R}^n\)で、\(f (v)\)を最大化する、\(g (v) = 1\)という条件のもとで、ものは、\(v = 1 / \sqrt{{v_0}^t M^{-1} v_0} M^{-1} v_0\)である
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \(f (v) = {v_0}^t v\)および\(g (v) = v^t M v\)であることを見る; ステップ2: 以下を満たすあるオーソゴーナル(直交)マトリックス(行列)にあるポジティブ(正)ダイアゴナル(対角)マトリックス(行列)を右から掛けたもの\(T^{-1}\)、つまり、\({T^{-1}}^t M T^{-1} = I\)、を見つける; ステップ3: \(f (v) = {v_0}^t T^{-1} T v\)および\(g (v) = v^t T^t {T^{-1}}^t M T^{-1} T v = (T v)^t I T v\)であることを見る; ステップ4: \(T v = c {T^{-1}}^t v_0\)と取り、\(c\)を計算する。

ステップ1:

当該ユークリディアンインナープロダクト(内積)によって、\(f (v) = \langle v, v_0 \rangle = {v_0}^t v\)および\(g (v) = \langle M v, v \rangle = v^t M v\)。

ステップ2:

もしも、\(M = I\)である場合は、明らかに、\(v\)は\(v_0\)のスカラー倍であろう、しかし、必ずしもそうではない。

したがって、私たちの戦略は以下を満たすあるオーソゴーナル(直交)マトリックス(行列)にあるポジティブ(正)ダイアゴナル(対角)マトリックス(行列)を右から掛けたもの\(T^{-1} = U D\)、つまり、\({T^{-1}}^t M T^{-1} = I\)、を見つけることである、それは可能である、任意のポジティブデフィニット(正定値)エルミートマトリックス(行列)は、アイデンティティ(単位行列)にトランスフォーム(変換)できる、あるユニタリマトリックス(行列)に右からあるポジティブ(正)ダイアゴナル(対角)マトリックス(行列)を掛けたものによって、という命題によって: それを\(T\)でなく\(T^{-1}\)とするのは、表現たちの便宜のためにすぎない、それは妥当である、なぜなら、\(U D\)はインバーティブル(可逆)である。

ステップ3:

\(f (v) = {v_0}^t T^{-1} T v\). \({v_0}^t T^{-1} \neq 0^t\)、なぜなら、そうでなければ、\({v_0}^t = {v_0}^t T^{-1} T = 0^t T = 0^t\)、矛盾。

\(g (v) = v^t {{T^{-1}}^t}^{-1} {T^{-1}}^t M T^{-1} T v = v^t T^t {T^{-1}}^t M T^{-1} T v\)、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のインバーティブル(可逆)マトリックス(行列)のトランスポーズ(転置)のインバース(逆)は当該マトリックス(行列)のインバース(逆)のトランスポーズ(転置)であるという命題によって、なぜなら、\({{T^{-1}}^t}^{-1} = {{T^{-1}}^{-1}}^t = T^t\)、\(= v^t T^t I T v = (T v)^t I T v\)、任意のコミュータティブ(可換)リング(環)に対して、任意のマトリックス(行列)たちのプロダクト(積)のトランスポーズ(転置)は、当該構成要素たちのトランスポーズ(転置)たちの逆順によるプロダクト(積)であるという命題によって。

ステップ4:

したがって、問題は、\(T v\)で\({v_0}^t T^{-1} T v\)を最大化する、\((T v)^t I T v = 1\)という条件のもとで、ものを見つけることになった。

明らかに、\(T v = c ({v_0}^t T^{-1})^t = c {T^{-1}}^t v_0\)、ある\(c \in \mathbb{R}\)に対して。

したがって、\(v = T^{-1} T v = T^{-1} c {T^{-1}}^t v_0 = c T^{-1} {T^{-1}}^t v_0\)。

\({T^{-1}}^t M T^{-1} = I\)から、\(M T^{-1} = {{T^{-1}}^t}^{-1} {T^{-1}}^t M T^{-1} = {{T^{-1}}^t}^{-1} I = {{T^{-1}}^t}^{-1}\)、\(T^{-1} = M^{-1} M T^{-1} = M^{-1} {{T^{-1}}^t}^{-1}\)、\(T^{-1} {T^{-1}}^t = M^{-1} {{T^{-1}}^t}^{-1} {T^{-1}}^t = M^{-1} I = M^{-1}\)。

したがって、\(v = c M^{-1} v_0\)。

\(v^t M v = (c M^{-1} v_0)^t M c M^{-1} v_0 = c {v_0}^t {M^{-1}}^t M c M^{-1} v_0 = c^2 {v_0}^t {M^{-1}}^t v_0 = 1\)、したがって、\(c = 1 / \sqrt{{v_0}^t {M^{-1}}^t v_0}\): それはポジティブ(正)である必要がある、なぜなら、\({v_0}^t v = {v_0}^t c M^{-1} v_0 = c {v_0}^t M^{-1} v_0 = c {v_0}^t {M^t}^{-1} M^t M^{-1} v_0 = c {v_0}^t {M^{-1}}^t M M^{-1} v_0 = c (M^{-1} v_0)^t M M^{-1} v_0\)、ここで、\(0 \le (M^{-1} v_0)^t M M^{-1} v_0\)、なぜなら、\(M\)はポジティブデフィニット(正定値)である。

\(M\)はシンメトリック(対称)であるから、\({M^{-1}}^t = {M^t}^{-1} = M^{-1}\)。

したがって、\(v = 1 / \sqrt{{v_0}^t M^{-1} v_0} M^{-1} v_0\)である。


参考資料


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