ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの、非ゼロベクトル、リアル（実）ポジティブデフィニット（正定値）シンメトリック（対称）マトリックス（行列）に対して、ベクトルで非ゼロベクトルとのインナープロダクト（内積）を最大化する、マトリックス（行列）によるそのバイリニアフォーム（二次形式）が1であるという条件のもとに、ものはこれであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、ユークリディアンベクトルたちスペース（空間）上のユークリディアンインナープロダクト（内積）の定義を知っている。
- 読者は、%リング（環）名%マトリックス（行列）たちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、任意のポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）は、アイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、あるユニタリマトリックス（行列）に右からあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、という命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）のインバース（逆）のトランスポーズ（転置）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のユークリディアンベクトルたちスペース（空間）でユークリディアンインナープロダクト（内積）を持つもの、任意の非ゼロベクトル、任意のリアル（実）ポジティブデフィニット（正定値）シンメトリック（対称）マトリックス（行列）に対して、ベクトルで当該非ゼロベクトルとのインナープロダクト（内積）を最大化する、当該マトリックス（行列）によるそのバイリニアフォーム（二次形式）が1であるという条件のもとに、ものはこれであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\mathbb{R}^n\): \(= \text{ 当該ユークリディアンベクトルたちスペース（空間） }\)でユークリディアンインナープロダクト（内積）\(\langle \bullet, \bullet \rangle\)を持つもの
\(v_0\): \(\in \mathbb{R}^n\)で、\(v \neq 0\)を満たすもの
\(M\): \(\in \{\text{ 全ての } n \times n \text{ リアル（実）ポジティブデフィニット（正定値）シンメトリック（対称）マトリックス（行列）たち }\}\)
\(f\): \(: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, v \mapsto \langle v, v_0 \rangle\)
\(g\): \(: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}, v \mapsto \langle M v, v \rangle\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(v \in \mathbb{R}^n\)で、\(f (v)\)を最大化する、\(g (v) = 1\)という条件のもとで、ものは、\(v = 1 / \sqrt{{v_0}^t M^{-1} v_0} M^{-1} v_0\)である
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f (v) = {v_0}^t v\)および\(g (v) = v^t M v\)であることを見る; ステップ2: 以下を満たすあるオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）にあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を右から掛けたもの\(T^{-1}\)、つまり、\({T^{-1}}^t M T^{-1} = I\)、を見つける; ステップ3: \(f (v) = {v_0}^t T^{-1} T v\)および\(g (v) = v^t T^t {T^{-1}}^t M T^{-1} T v = (T v)^t I T v\)であることを見る; ステップ4: \(T v = c {T^{-1}}^t v_0\)と取り、\(c\)を計算する。
ステップ1:
当該ユークリディアンインナープロダクト（内積）によって、\(f (v) = \langle v, v_0 \rangle = {v_0}^t v\)および\(g (v) = \langle M v, v \rangle = v^t M v\)。
ステップ2:
もしも、\(M = I\)である場合は、明らかに、\(v\)は\(v_0\)のスカラー倍であろう、しかし、必ずしもそうではない。
したがって、私たちの戦略は以下を満たすあるオーソゴーナル（直交）マトリックス（行列）にあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を右から掛けたもの\(T^{-1} = U D\)、つまり、\({T^{-1}}^t M T^{-1} = I\)、を見つけることである、それは可能である、任意のポジティブデフィニット（正定値）エルミートマトリックス（行列）は、アイデンティティ（単位行列）にトランスフォーム（変換）できる、あるユニタリマトリックス（行列）に右からあるポジティブ（正）ダイアゴナル（対角）マトリックス（行列）を掛けたものによって、という命題によって: それを\(T\)でなく\(T^{-1}\)とするのは、表現たちの便宜のためにすぎない、それは妥当である、なぜなら、\(U D\)はインバーティブル（可逆）である。
ステップ3:
\(f (v) = {v_0}^t T^{-1} T v\). \({v_0}^t T^{-1} \neq 0^t\)、なぜなら、そうでなければ、\({v_0}^t = {v_0}^t T^{-1} T = 0^t T = 0^t\)、矛盾。
\(g (v) = v^t {{T^{-1}}^t}^{-1} {T^{-1}}^t M T^{-1} T v = v^t T^t {T^{-1}}^t M T^{-1} T v\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のインバーティブル（可逆）マトリックス（行列）のトランスポーズ（転置）のインバース（逆）は当該マトリックス（行列）のインバース（逆）のトランスポーズ（転置）であるという命題によって、なぜなら、\({{T^{-1}}^t}^{-1} = {{T^{-1}}^{-1}}^t = T^t\)、\(= v^t T^t I T v = (T v)^t I T v\)、任意のコミュータティブ（可換）リング（環）に対して、任意のマトリックス（行列）たちのプロダクト（積）のトランスポーズ（転置）は、当該構成要素たちのトランスポーズ（転置）たちの逆順によるプロダクト（積）であるという命題によって。
ステップ4:
したがって、問題は、\(T v\)で\({v_0}^t T^{-1} T v\)を最大化する、\((T v)^t I T v = 1\)という条件のもとで、ものを見つけることになった。
明らかに、\(T v = c ({v_0}^t T^{-1})^t = c {T^{-1}}^t v_0\)、ある\(c \in \mathbb{R}\)に対して。
したがって、\(v = T^{-1} T v = T^{-1} c {T^{-1}}^t v_0 = c T^{-1} {T^{-1}}^t v_0\)。
\({T^{-1}}^t M T^{-1} = I\)から、\(M T^{-1} = {{T^{-1}}^t}^{-1} {T^{-1}}^t M T^{-1} = {{T^{-1}}^t}^{-1} I = {{T^{-1}}^t}^{-1}\)、\(T^{-1} = M^{-1} M T^{-1} = M^{-1} {{T^{-1}}^t}^{-1}\)、\(T^{-1} {T^{-1}}^t = M^{-1} {{T^{-1}}^t}^{-1} {T^{-1}}^t = M^{-1} I = M^{-1}\)。
したがって、\(v = c M^{-1} v_0\)。
\(v^t M v = (c M^{-1} v_0)^t M c M^{-1} v_0 = c {v_0}^t {M^{-1}}^t M c M^{-1} v_0 = c^2 {v_0}^t {M^{-1}}^t v_0 = 1\)、したがって、\(c = 1 / \sqrt{{v_0}^t {M^{-1}}^t v_0}\): それはポジティブ（正）である必要がある、なぜなら、\({v_0}^t v = {v_0}^t c M^{-1} v_0 = c {v_0}^t M^{-1} v_0 = c {v_0}^t {M^t}^{-1} M^t M^{-1} v_0 = c {v_0}^t {M^{-1}}^t M M^{-1} v_0 = c (M^{-1} v_0)^t M M^{-1} v_0\)、ここで、\(0 \le (M^{-1} v_0)^t M M^{-1} v_0\)、なぜなら、\(M\)はポジティブデフィニット（正定値）である。
\(M\)はシンメトリック（対称）であるから、\({M^{-1}}^t = {M^t}^{-1} = M^{-1}\)。
したがって、\(v = 1 / \sqrt{{v_0}^t M^{-1} v_0} M^{-1} v_0\)である。
