\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のリーマニアンメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）\(C^\infty\) \((2, 0)\)-テンソルたちフィールド（場）の定義
話題
About: リーマニアンマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のリーマニアンメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）\(C^\infty\) \((2, 0)\)-テンソルたちフィールド（場）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M, g)\): \(\in \{\text{ 全てのリーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( \hat{g}\): \(= \text{ タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上への } g \text{ に関する' } \(C^\infty\) \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち - } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像） }\)
\( (T^2_0 (TM), M, \pi)\): \(= M \text{ 上方の当該 } C^\infty (2, 0) \text{ -テンソルたちバンドル（束） }\)
\(*\widetilde{g}\): \(: M \to T^2_0 (TM)\), \(\in \{M \text{ 上方の全ての } C^\infty (2, 0) \text{ -テンソルたちフィールド（場）たち }\}\)
//
コンディションたち:
\(\forall m \in M (\widetilde{g} (m): T_mM^* \times T_mM^* \to \mathbb{R}, (t, t') \mapsto t (\hat{g}^{-1} (t')))\)
//
任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および\(T^2_0 (TM)\)に対するインデュースト（誘導された）チャート、に対して、\(\widetilde{g} = \widetilde{g}^{j, l} \partial / \partial x^j \otimes \partial / \partial x^l\)、ここで、\(\begin{pmatrix} \widetilde{g}^{j, l} \end{pmatrix}\)は\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)のインバース（逆）である、"注"内に見られるとおり。
当該名称は扱いづらいように思われるかもしれない、しかし、少なくとも、\(\widetilde{g}\)は、\(g\)の"インバース（逆）"ではない、なぜなら、\(g: M \to T^0_2 (TM)\)のインバース（逆）は\(: T^0_2 (TM) \to M\)でなければならない。
2: 注
\(\widetilde{g}\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であり、本当に\(C^\infty\)セクション（断面）である。
\(\widetilde{g} (m): T_mM^* \times T_mM^* \to \mathbb{R}, (t, t') \mapsto t (\hat{g}^{-1} (t'))\)はマルチリニア（多重線形）である、なぜなら、\(\widetilde{g} (m) (r_1 t^1 + r_2 t^2, t') = (r_1 t^1 + r_2 t^2) (\hat{g}^{-1} (t')) = r_1 t^1 (\hat{g}^{-1} (t')) + r_2 t^2 (\hat{g}^{-1} (t')) = r_1 \widetilde{g} (m) (t_1, t') + r_2 \widetilde{g} (m) (t_2, t')\); \(\widetilde{g} (m) (t, r'_1 t'_1 + r'_2 t'_2) = t (\hat{g}^{-1} (r'_1 t'_1 + r'_2 t'_2)) = t (r'_1 \hat{g}^{-1} (t'_1) + r'_2 \hat{g}^{-1} (t'_2)) = r'_1 t (\hat{g}^{-1} (t'_1)) + r'_2 t (\hat{g}^{-1} (t'_2)) = r'_1 \widetilde{g} (m) (t, t'_1) + r'_2 \widetilde{g} (m) (t, t'_2)\)。
したがって、\(\widetilde{g} (m) \in T^2_0 (T_mM)\)。
したがって、\(\widetilde{g}\)は\(T^2_0 (TM)\)の中へのセクション（断面）である。
各\(m \in M\)に対して、任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および\(T^2_0 (TM)\)に対するインデュースト（誘導された）チャートを取ろう。
当該チャートたちに対して、\(\widetilde{g} = \widetilde{g}^{j, l} \partial / \partial x^j \otimes \partial / \partial x^l\)。
\(\begin{pmatrix} \widetilde{g}^{j, l} \end{pmatrix}\)は\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)のインバース（逆）である、なぜなら、\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)のインバース（逆）を\(\begin{pmatrix} h^{j, l} \end{pmatrix}\)と記して、私たちは、\(\hat{g}^{-1} (t) = h^{j, n} t_n \partial / \partial x^j\)であることを知っている、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義に対する"注"によって、そして、\(\widetilde{g}^{j, l} = \widetilde{g} (d x^j, d x^l) = d x^j (\hat{g}^{-1} (d x^l)) = d x^j (h^{m, l} \partial / \partial x^m) = h^{m, l} d x^j (\partial / \partial x^m) = h^{m, l} \delta^j_m = h^{j, l}\)。
\(\widetilde{g}\)は\(C^\infty\)である、なぜなら、\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)は\(C^\infty\)であるから、インバース（逆）\(\begin{pmatrix} \widetilde{g}^{j, l} \end{pmatrix}\)は\(C^\infty\)である: ラプラス展開によって\(\begin{pmatrix} \widetilde{g}^{j, l} \end{pmatrix}\)のコンポーネントたちは\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)のコンポーネントたちのポリノミアル（多項式）たちを\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)のデターミナント（行列式）（それはゼロではない）で割ったものである。
