リーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、テンソルコンポーネントたちのインデックスを下げるか上げるかすることが行なっていることの記述/証明
話題
About: リーマニアンマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上のポイントにおける\((p, q)\)-テンソルたちスペース（空間）の定義を知っている。
- 読者は、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方のリーマニアンメトリック（計量）によってインデュースト（誘導された）\(C^\infty\) \((2, 0)\)-テンソルたちフィールド（場）の定義を知っている。
- 読者は、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は、任意のベーシス（基底）をあるベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題を認めている。
- 読者は、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、に対して、任意のテンソルコンポーネントたちの任意のインデックスを下げるか上げるかすることが行なっていることの記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\((M, g)\): \(\in \{\text{ 全てのリーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(m\): \(\in M\)
\((U_m \subseteq M, \phi_m)\): \(\in \{m \text{ の周りの全てのチャートたち }\}\)
\(t\): \(\in T^p_q (T_mM)\), \(= t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q}\)
\(l_m\): \(: T^p_q (T_mM) \to T^{p - 1}_{q + 1} (T_mM), t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q} \mapsto t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_{m - 1}} \otimes \partial / \partial x^{j_{m + 1}} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes \hat{g} (\partial / \partial x^{j_m}) \times d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q}\)
\(r_m\): \(: T^p_q (T_mM) \to T^{p + 1}_{q - 1} (T_mM), t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q} \mapsto t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes \hat{g}^{-1} (d x^{l_m}) \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_{m - 1}} \otimes d x^{l_{m + 1}} \otimes ... \otimes d x^{l_q}\)
//
ステートメントたち:
\(\{g_{j'_m, j_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は\(l_m (t)\)を代表する
\(\land\)
\(\{\widetilde{g}^{l'_m, l_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は\(r_m (t)\)を代表する
//
2: 注
\(\{g_{j'_m, j_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は、\(T_mM \times ... \times T_mM \times T_mM^* \times T_mM \times ... \times T_mM \times T_mM^* \times ... \times T_mM^*\)の中にいるように見える、\(T^{p - 1}_{q + 1} (T_mM) = T_mM \times ... \times T_mM \times T_mM^* \times ... \times T_mM^*\)の中にではなく、しかし、それら2個のスペース（空間）たちはカノニカル（正典）に'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィック（同形写像）であり、\(\{g_{j'_m, j_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は、\(T^{p - 1}_{q + 1}\)内の対応する要素と同一視される。
実のところ、\(T_mM \times ... \times T_mM \times T_mM^* \times T_mM \times ... \times T_mM \times T_mM^* \times ... \times T_mM^*\)はいかなる点においても悪くない、しかし、私たちはそれに簡潔な記法を与えなかったので、私たちは、\(g_{j'_m, j_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\)を、簡潔に表記された\(T^{p - 1}_{q + 1} (T_mM)\)内に置くのである。
私たちがそうするのは、その侵入する\(T_mM^*\)をどこかに置くかは本当には問題でないから: 勿論、ひと度その位置が定義されたら、その定義に従い続けることは重要である。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(T^1_0 (T_mM)\)ケースおよび\(T^0_1 (T_mM)\)ケースのことを考える; ステップ2: 一般的な\(T^p_q (T_mM)\)ケースのことを考える; ステップ3: \(T^1_0 (T_mM)\)ケースと\(T^0_1 (T_mM)\)ケースは一般的ケースに合致していることを見る。
ステップ1:
\(T^1_0 (T_mM)\)ケースはシンプルであることを見よう。
\(\{g_{j', j} t^j\}\)は\(\hat{g} (t)\)を代表する、なぜなら、\(\hat{g} (t) = g_{l, j} t^l d x^j = g_{j, l} t^l d x^j\)、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義によって。
\(T^0_1 (T_mM)\)ケースはシンプルであることを見よう。
\(\{\widetilde{g}^{j', j} t_j\}\)は\(\hat{g}^{-1} (t)\)を代表する、なぜなら、\(\hat{g}^{-1} (t) = \widetilde{g}^{j, l} t_l \partial / \partial x^j\)、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義によって。
ステップ2:
一般的な\(T^p_q (T_mM)\)ケースのことを考えよう。
一般的なケースに対する課題は、\(\hat{g}\)も\(\hat{g}^{-1}\)も\(t\)に（少なくとも直接には）適用できないことだ。
それでは、インデックスが下げられたか上げられたかしたオブジェクトは何なのか？、それが本命題の関心事である。
\(\hat{g}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるから、それは、\(T_mM\)に対するベーシス（基底）\(\{\partial / \partial x^{j_m}\}\)を\(T_mM^*\)に対するあるベーシス（基底）の上へマップする、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は、任意のベーシス（基底）をあるベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）であるという命題によって、したがって、\(\{\hat{g} (\partial / \partial x^{j_m})\}\)は\(T_mM^*\)に対するベーシス（基底）である。
したがって、\(\{\partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_{m - 1}} \otimes \partial / \partial x^{j_{m + 1}} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes \hat{g} (\partial / \partial x^{j_m}) \times d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q}\}\)は\(T^{p - 1}_{q + 1} (T_mM)\)に対するベーシス（基底）である、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって: その命題は、\(V_j\)たちに対するベーシス（基底）たちがスタンダード（標準）ベーシス（基底）たちであるというように何らか特定のベーシス（基底）たちであることを要求しない。
\(l_m\)は当該ベーシス（基底）の当該マッピングのリニア（線形）拡張である。
したがって、\(l_m\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(\{g_{j'_m, j_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は本当に\(l_m (t)\)を代表することを見よう。
\(l_m (t) = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_{m - 1}} \otimes \partial / \partial x^{j_{m + 1}} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes \hat{g} (\partial / \partial x^{j_m}) \times d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q} = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_{m - 1}} \otimes \partial / \partial x^{j_{m + 1}} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes (g_{j_m, j'_m} d x^{j'_m}) \times d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q} = g_{j_m, j'_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_{m - 1}} \otimes \partial / \partial x^{j_{m + 1}} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes d x^{j'_m} \times d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_q}\)。
それが意味するのは、\(\{g_{j_m, j'_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は\(l_m (t)\)のコンポーネントたちであること。
\(r_m\)に対する状況は同様である、以下のとおり。
\(\hat{g}^{-1}\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるから、それは、\(T_mM^*\)に対するベーシス（基底）\(\{d x^{j_m}\}\)を\(T_mM\)に対するあるベーシス（基底）の上へマップする、任意の'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）は、任意のベーシス（基底）をあるベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張するマップ（写像）であるという命題によって、したがって、\(\{\hat{g}^{-1} (d x^{j_m})\}\)は\(T_mM\)に対するベーシス（基底）である。
したがって、\(\partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes \hat{g}^{-1} (d x^{l_m}) \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_{m - 1}} \otimes d x^{l_{m + 1}} \otimes ... \otimes d x^{l_q}\)は\(T^{p + 1}_{q - 1} (T_mM)\)に対するベーシス（基底）である、任意の\(k\)個のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たちのテンソルプロダクト（積）は任意のベーシス（基底）要素たちによってインデュースト（誘導された）クラスたちから構成されるベーシス（基底）を持つという命題によって。
\(r_m\)は当該ベーシス（基底）の当該マッピングのリニア（線形）拡張である。
したがって、\(r_m\)は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である、任意のベクトルたちスペース（空間）間において、任意のベーシス（基底）を任意のベーシス（基底）の上へバイジェクティブ（全単射）にマップし当該マッピングをリニア（線形）に拡張する任意のマップ（写像）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(\{\widetilde{g}^{l'_m, l_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は本当に\(r_m (t)\)を代表することを見よう。
\(r_m (t) = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes \hat{g}^{-1} (d x^{l_m}) \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_{m - 1}} \otimes d x^{l_{m + 1}} \otimes ... \otimes d x^{l_q} = t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes (\widetilde{g}^{l'_m, l_m} \partial / \partial x^{l'_m}) \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_{m - 1}} \otimes d x^{l_{m + 1}} \otimes ... \otimes d x^{l_q} = \widetilde{g}^{l'_m, l_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q} \partial / \partial x^{j_1} \otimes ... \otimes \partial / \partial x^{j_p} \otimes \partial / \partial x^{l'_m} \otimes d x^{l_1} \otimes ... \otimes d x^{l_{m - 1}} \otimes d x^{l_{m + 1}} \otimes ... \otimes d x^{l_q}\)。
それが意味するのは、\(\{\widetilde{g}^{l'_m, l_m} t^{j_1, ..., j_p}_{l_1, ..., l_q}\}\)は\(r_m (t)\)のコンポーネントたちであるということ。
ステップ3:
\(T^1_0 (T_mM)\)ケースおよび\(T^0_1 (T_mM)\)ケースは一般的なケースに合致していることを見よう（実のところ、そうであるはずである、論理的に言って、しかし、それを明示的に見よう）。
\(\hat{g}\)は\(t = t^j \partial / \partial x^j \mapsto g_{j, l} t^l d x^j = g_{l, j} t^j d x^l = t^j g_{l, j} d x^l = t^j \hat{g} (\partial / \partial x^j)\)、それは、一般的ケースが指示することである。
\(\hat{g}^{-1}\)は\(t = t_j d x^j \mapsto \widetilde{g}^{j, l} t_l \partial / \partial x^j = \widetilde{g}^{l, j} t_j \partial / \partial x^l = t_j \widetilde{g}^{l, j} \partial / \partial x^l = t_j \hat{g}^{-1} (d x^j)\)、それは、一般的ケースが指示することである。
