タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義
話題
About: リーマニアンマニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束）からコタンジェントベクトルたちバンドル（束）の上へのリーマニアンメトリック（計量）に関する'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( (M, g)\): \(\in \{\text{ 全てのリーマニアンマニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\( (TM, M, \pi)\): \(= \text{ 当該タンジェント（接）ベクトルたちバンドル（束） }\)
\( (TM^*, M, \pi^*)\): \(= \text{ 当該コタンジェントベクトルたちバンドル（束） }\)
\(*\hat{g}\): \(: TM \to TM^*, v \mapsto g (v, \bullet)\), \(\in \{\text{ 全ての'} C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）たち - } C^\infty \text{ ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）たち } \}\)
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コンディションたち:
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任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および\(TM\)、\(TM^*\)、\(T^0_2 (TM)\)に対するインデュースト（誘導された）チャートたちに対して、\(\hat{g} (v) = g_{l, j} v^l d x^j\)、"注"内で見られるとおり。
当該チャートたちに対して、\(\hat{g}^{-1} (t) = \widetilde{g}^{j, n} t_n \partial / \partial x^j\)、ここで、\(\begin{pmatrix} \widetilde{g}^{j, n} \end{pmatrix}\)は\(\begin{pmatrix} g_{j, n} \end{pmatrix}\)のインバース（逆）マトリックス（行列）である、"注"内で見られるとおり、ここで、\(\widetilde{g}\)は実のところ、\(g\)によってインデュースト（誘導された）\(C^\infty\) \((2, 0)\)-テンソルたちフィールド（場）であり、\(\widetilde{g}^{j, n}\)はその、\(T^2_0 (TM)\)に対するインデュースト（誘導された）チャートに関するコンポーネントたちである。
2: 注
\(\hat{g}\)は本当にウェルデファインド（妥当に定義された）であり、本当に'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
\(g (v, \bullet)\)は本当に\(TM^*\)内にあるか？
それは、確かに、マルチリニアマップ（多重線形写像）\(: TM \to \mathbb{R}\)である、なぜなら、\(g\)はマルチリニア（多重線形）\(: TM \times TM \to \mathbb{R}\)である。したがって、\(g (v, \bullet) \in \biguplus_{m \in M} L (T_mM: \mathbb{R})\)。
\(\biguplus_{m \in M} L (T_mM: \mathbb{R})\)は\(T^0_1 (TM) = TM^*\)と同一視される、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の\(C^\infty\) \((p, q)\)-テンソルたちバンドル（束）の定義の中で言及されている同一視によって。
したがって、\(g (v, \bullet) \in TM^*\)、当該同一視によって。
\(\hat{g}\)はファイバープリザービング（維持）である。
\(\hat{g}\)は各ファイバー\(T_mM\)上でリニア（線形）である: \(g (r v + r' v', \bullet) = r g (v, \bullet) + r' g (v', \bullet) = r \hat{g} (v) + r' \hat{g} (v')\)。
\(\hat{g}\)は各ファイバー上でインジェクティブ（単射）である: \(v, v' \in T_mM\)を\(v \neq v'\)である任意のものたちとし、\(\hat{g} (v) = g (v, \bullet) = g (v', \bullet) = \hat{g} (v')\)であったと仮定しよう; \(0 = g (v, \bullet) - g (v', \bullet) = g (v - v', \bullet)\); 特に、\(g (v - v', v - v') = 0\)、それは、\(v - v' = 0\)を含意することになる、\(g\)のポジティブデフィニット（正定値）性によって、矛盾。
\(\hat{g}\)は各ファイバー上でバイジェクティブ（全単射）である、任意の同一ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）ベクトルたちスペース（空間）たち間の任意のリニア（線形）インジェクション（単射）は'ベクトルたちスペース（空間）たち - リニア（線形）モーフィズム（射）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって。
\(\hat{g}\)は\(T_mM\)を\(T_mM^*\)の上へマップする。
したがって、\(\hat{g}\)はバイジェクション（全単射）である。
\(\hat{g}\)は\(C^\infty\)であることを見よう。
各\(m \in M\)に対して、任意のチャート\((U_m \subseteq M, \phi_m)\)および\(TM\)、\(TM^*\)、\(T^0_2 (TM)\)に対するインデュースト（誘導された）チャートたちを取ろう。
当該チャートたちに対して、\(v = v^j \partial / \partial x^j\)および\(g = g_{l, m} d x^l \otimes d x^m\)、および、\(\hat{g} (v) = g (v, \bullet) = g_{l, m} d x^l \otimes d x^m (v^j \partial / \partial x^j) = g_{l, m} v^j d x^l (\partial / \partial x^j) d x^m = g_{l, m} v^j \delta^l_j d x^m = g_{l, m} v^l d x^m\)。
したがって、\(\hat{g}\)のコンポーネントたちファンクション（関数）は\((v^j, x^j) \mapsto (g_{l, j} v^l, x^j)\)である、それは、\(C^\infty\)である、なぜなら、\(g\)は\(C^\infty\)である。
したがって、\(\hat{g}\)は\(C^\infty\)である。
したがって、\(\hat{g}\)は\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たちホモモーフィズム（準同形写像）である。
任意の同一\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、上方の任意の2つの\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たちに対して、任意のバイジェクティブ（全単射）\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）は'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）であるという命題によって、\(\hat{g}\)は'\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）たち - \(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）ホモモーフィズム（準同形写像）たち'アイソモーフィズム（同形写像）である。
当該チャートたちに対して、\(\hat{g}^{-1} (t) = \widetilde{g}^{j, n} t_n \partial / \partial x^j\)、ここで、\(\begin{pmatrix} \widetilde{g}^{j, l} \end{pmatrix}\)は\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)のインバース（逆）である、それは存在する、なぜなら、\(\begin{pmatrix} g_{j, l} \end{pmatrix}\)はポジティブデフィニット（正定値）である、なぜなら、\(\hat{g} (\widetilde{g}^{j, n} t_n \partial / \partial x^j) = g_{l, m} \widetilde{g}^{l, n} t_n d x^m = g_{m, l} \widetilde{g}^{l, n} t_n d x^m = \delta^n_m t_n d x^m = t_m d x^m = t\)。
