2025年7月6日日曜日

1186: グループ(群)およびサブセット(部分集合)たちに対して、サブセット(部分集合)たちのインターセクション(共通集合)のインバース(逆)はサブセット(部分集合)たちのインバース(逆)たちのインターセクション(共通集合)である

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グループ(群)およびサブセット(部分集合)たちに対して、サブセット(部分集合)たちのインターセクション(共通集合)のインバース(逆)はサブセット(部分集合)たちのインバース(逆)たちのインターセクション(共通集合)であることの記述/証明

話題


About: グループ(群)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のグループ(群)および任意のサブセット(部分集合)たちに対して、当該サブセット(部分集合)たちのインターセクション(共通集合)のインバース(逆)は当該サブセット(部分集合)たちのインバース(逆)たちのインターセクション(共通集合)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ(群)たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ アンカウンタブル(不可算)かもしれない全てのインデックスセット(集合)たち }\}\)
\(\{S_j \subseteq G \vert j \in J\}\):
//

ステートメント(言明)たち:
\((\cap_{j \in J} S_j)^{-1} = \cap_{j \in J} {S_j}^{-1}\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: \(g \in (\cap_{j \in J} S_j)^{-1}\)を任意のものとし、\(g \in \cap_{j \in J} {S_j}^{-1}\)であることを見る; ステップ2: \(g \in \cap_{j \in J} {S_j}^{-1}\)を任意のものとし、\(g \in (\cap_{j \in J} S_j)^{-1}\)であることを見る。

ステップ1:

\(g \in (\cap_{j \in J} S_j)^{-1}\)を任意のものとしよう。

\(g^{-1} \in \cap_{j \in J} S_j\)。各\(j \in J\)に対して、\(g^{-1} \in S_j\)。\(g \in {S_j}^{-1}\)。したがって、\(g \in \cap_{j \in J} {S_j}^{-1}\)。

ステップ2:

\(g \in \cap_{j \in J} {S_j}^{-1}\)を任意のものとしよう。

各\(j \in J\)に対して、\(g \in {S_j}^{-1}\)。\(g^{-1} \in S_j\)。\(g^{-1} \in \cap_{j \in J} S_j\)。したがって、\(g \in (\cap_{j \in J} S_j)^{-1}\)。


参考資料


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