グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆）の定義
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\( S\): \(\subseteq G\)
\(*S^{-1}\): \(= \{g \in G \vert \exists s \in S (g = s^{-1})\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(S^{-1} := \{g \in G \vert g^{-1} \in S\}\)は、等価な定義である。
その事実を確認しよう。
\(g \in \{g \in G \vert \exists s \in S (g = s^{-1})\}\)を任意のものとする。
\(g = s^{-1}\)であるので、\(g^{-1} = {s^{-1}}^{-1} = s \in S\)、したがって、\(g \in \{g \in G \vert g^{-1} \in S\}\)。
\(g \in \{g \in G \vert g^{-1} \in S\}\)を任意のものとしよう。
\(s := g^{-1} \in S\)としよう。
すると、\(s^{-1} = {g^{-1}}^{-1} = g\)。
したがって、\(g \in \{g \in G \vert \exists s \in S (g = s^{-1})\}\)。
したがって、\(\{g \in G \vert \exists s \in S (g = s^{-1})\} = \{g \in G \vert g^{-1} \in S\}\)。
\(S\)が\(G\)のサブグループ（部分群）である時は、\(S^{-1} = S\)。
その事実を見よう。
\(g \in S^{-1}\)を任意のものとしよう。
\(g^{-1} \in S\)、しかし、\(S\)はグループ（群）であるから、\(g = {g^{-1}}^{-1} \in S\)。
\(s \in S\)を任意のものとしよう。
\(S\)はグループ（群）であるから、\(s^{-1} \in S\)、したがって、\(s \in S^{-1}\)。
したがって、\(S^{-1} = S\)。
しかし、\(S^{-1} = S\)は、必ずしも\(S\)がサブグループ（部分群）であることを含意しない。
例えば、\(G = \mathbb{Z}\)をアディティブグループ（加群）、\(S = \{-1, 0, 1\}\)とする、すると、\(S^{-1} = S\)、しかし、\(S\)は\(G\)のサブグループ（部分群）ではない: \(1 + 1 \notin S\)。
