グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）と、2個のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と第1サブセット（部分集合）と第3サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）に包含されているが、必ずしもそれに等しくないことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）と、任意の2個のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、当該第1サブセット（部分集合）と当該第2サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と当該第1サブセット（部分集合）と当該第3サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）に包含されているが、必ずしもそれに等しくないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq G\)
\(S_2\): \(\subseteq G\)
\(S_3\): \(\subseteq G\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_1 (S_2 \cap S_3) \subseteq (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\)
\(\land\)
必ずしも以下ではない、つまり、"\(S_1 (S_2 \cap S_3) \subseteq (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\)"
//
2: 注
任意のグループ（群）に対して、任意の要素と任意のアンカウンタブル（不可算）かもしれない数のサブセット（部分集合）たちに対して、当該要素と当該サブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、当該要素と当該サブセット（部分集合）たちのプロダクト（積）たちのインターセクション（共通集合）であるという命題と比較のこと。
3: Proof
Whole Strategy: Step 1: let \(g \in S_1 (S_2 \cap S_3)\) be any and see that \(g \in (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\); Step 2: see an example that \(S_1 (S_2 \cap S_3) \subset (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\).
Step 1:
Let \(g \in S_1 (S_2 \cap S_3)\) be any.
\(g = s_1 s\), where \(s_1 \in S_1\) and \(s \in S_2 \cap S_3\).
\(g = s_1 s \in S_1 S_2\), because \(s \in S_2\), and \(g = s_1 s \in S_1 S_3\), because \(s \in S_3\).
So, \(g \in (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\).
Step 2:
For any \(g \in (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\), \(g \in S_1 (S_2 \cap S_3)\) does not necessarily hold, because \(g = s_1 s_2 = s'_1 s_3\) where \(s_1, s'_1 \in S_2\) and \(s_2 \in S_2\) and \(s_3 \in S_3\), but as \(s_1 \neq s'_1\) in general, \(g\) cannot be expressed as \(s''_1 s\) in general.
For example, let \(G = \mathbb{Z}\) as the additive group, \(S_1 = \{0, 1\}\), \(S_2 = \{3, 4\}\), and \(S_3 = \{5, 6\}\).
Then, \(S_1 (S_2 \cap S_3) = \{0, 1\} (\{3, 4\} \cap \{5, 6\}) = \{0, 1\} \emptyset = \emptyset\) and \((S_1 S_2) \cap (S_1 S_3) = \{0, 1\} \{3, 4\} \cap \{0, 1\} \{5, 6\} = \{3, 4, 5\} \cap \{5, 6, 7\} = \{5\}\).
