グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）と、2個のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、第1サブセット（部分集合）と第2サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と第1サブセット（部分集合）と第3サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）に包含されているが、必ずしもそれに等しくないことの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）と、任意の2個のサブセット（部分集合）たちのインターセクション（共通集合）のプロダクト（積）は、当該第1サブセット（部分集合）と当該第2サブセット（部分集合）のプロダクト（積）と当該第1サブセット（部分集合）と当該第3サブセット（部分集合）のプロダクト（積）のインターセクション（共通集合）に包含されているが、必ずしもそれに等しくないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)
\(S_1\): \(\subseteq G\)
\(S_2\): \(\subseteq G\)
\(S_3\): \(\subseteq G\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S_1 (S_2 \cap S_3) \subseteq (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(g \in S_1 (S_2 \cap S_3)\)を任意のものとし、\(g \in (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\)であることを見る; ステップ2: \(S_1 (S_2 \cap S_3) \subset (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\)である1例を見る。
ステップ1:
\(g \in S_1 (S_2 \cap S_3)\)を任意のものとしよう。
\(g = s_1 s\)、ここで、\(s_1 \in S_1\)および\(s \in S_2 \cap S_3\)。
\(g = s_1 s \in S_1 S_2\)、なぜなら、\(s \in S_2\)、そして、\(g = s_1 s \in S_1 S_3\)、なぜなら、\(s \in S_3\)。
したがって、\(g \in (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\)。
ステップ2:
任意の\(g \in (S_1 S_2) \cap (S_1 S_3)\)に対して、\(g \in S_1 (S_2 \cap S_3)\)は必ずしも成立しない、なぜなら、\(g = s_1 s_2 = s'_1 s_3\)、ここで、\(s_1, s'_1 \in S_2\)および\(s_2 \in S_2\)および\(s_3 \in S_3\)、しかし、一般に\(s_1 \neq s'_1\)であるから、\(g\)は、一般に\(s''_1 s\)と表わすことができない。
例えば、\(G = \mathbb{Z}\)をアディティブグループ（加群）とし、\(S_1 = \{0, 1\}\)、\(S_2 = \{3, 4\}\)、\(S_3 = \{5, 6\}\)としよう。
すると、\(S_1 (S_2 \cap S_3) = \{0, 1\} (\{3, 4\} \cap \{5, 6\}) = \{0, 1\} \emptyset = \emptyset\)および\((S_1 S_2) \cap (S_1 S_3) = \{0, 1\} \{3, 4\} \cap \{0, 1\} \{5, 6\} = \{3, 4, 5\} \cap \{5, 6, 7\} = \{5\}\)。
