グループ（群）に対して、サブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下でサブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）はサブセット（部分集合）であることの記述/証明
話題
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）のサブセット（部分集合）のインバース（逆）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のグループ（群）に対して、任意のサブセット（部分集合）のインバース（逆）はインバース（逆）マップ（写像）の下で当該サブセット（部分集合）のイメージ（像）であり、当該サブセット（部分集合）のダブルインバース（逆）は当該サブセット（部分集合）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）たち }\}\)で、インバース（逆）オペレーション\(f_2: G \to G\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq G\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(S^{-1} = f_2 (S)\)
\(\land\)
\({S^{-1}}^{-1} = S\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各\(g \in S^{-1}\)に対して、\(g \in f_2 (S)\)であり、各\(g \in f_2 (S)\)に対して、\(g \in S^{-1}\)であることを見る; ステップ2: \({S^{-1}}^{-1} = f_2 \circ f_2 (S) = id (S) = S\)であることを見る。
ステップ1:
\(g \in S^{-1}\)を任意のものとしよう。
\(g^{-1} \in S\)、したがって、\(g = {g^{-1}}^{-1} = f_2 (g^{-1}) \in f_2 (S)\)。
\(g \in f_2 (S)\)を任意のものとしよう。
以下を満たすある\(g' \in S\)、つまり、\(g = f_2 (g') = g'^{-1}\)、がある、それが意味するのは、\(g' = {g'^{-1}}^{-1} = g^{-1}\)、それが意味するのは、\(g^{-1} \in S\)、それが意味するのは、\(g \in S^{-1}\)。
したがって、\(S^{-1} = f_2 (S)\)。
ステップ2:
\({S^{-1}}^{-1} = f_2 \circ f_2 (S)\)、ステップ1によって。
しかし、\(f_2 \circ f_2 = id\)であるから、\(= id (S) = S\)。
