2025年7月6日日曜日

1188: グループ(群)に対して、サブセット(部分集合)のインバース(逆)はインバース(逆)マップ(写像)の下でサブセット(部分集合)のイメージ(像)であり、サブセット(部分集合)のダブルインバース(逆)はサブセット(部分集合)である

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グループ(群)に対して、サブセット(部分集合)のインバース(逆)はインバース(逆)マップ(写像)の下でサブセット(部分集合)のイメージ(像)であり、サブセット(部分集合)のダブルインバース(逆)はサブセット(部分集合)であることの記述/証明

話題


About: グループ(群)

この記事の目次


開始コンテキスト



ターゲットコンテキスト



  • 読者は、任意のグループ(群)に対して、任意のサブセット(部分集合)のインバース(逆)はインバース(逆)マップ(写像)の下で当該サブセット(部分集合)のイメージ(像)であり、当該サブセット(部分集合)のダブルインバース(逆)は当該サブセット(部分集合)であるという命題の記述および証明を得る。

オリエンテーション


本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。

本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。


本体


1: 構造化された記述


ここに'構造化された記述'のルールたちがある

エンティティ(実体)たち:
\(G\): \(\in \{\text{ 全てのグループ(群)たち }\}\)で、インバース(逆)オペレーション\(f_2: G \to G\)を持つもの
\(S\): \(\subseteq G\)
//

ステートメント(言明)たち:
\(S^{-1} = f_2 (S)\)
\(\land\)
\({S^{-1}}^{-1} = S\)
//


2: 証明


全体戦略: ステップ1: 各\(g \in S^{-1}\)に対して、\(g \in f_2 (S)\)であり、各\(g \in f_2 (S)\)に対して、\(g \in S^{-1}\)であることを見る; ステップ2: \({S^{-1}}^{-1} = f_2 \circ f_2 (S) = id (S) = S\)であることを見る。

ステップ1:

\(g \in S^{-1}\)を任意のものとしよう。

\(g^{-1} \in S\)、したがって、\(g = {g^{-1}}^{-1} = f_2 (g^{-1}) \in f_2 (S)\)。

\(g \in f_2 (S)\)を任意のものとしよう。

以下を満たすある\(g' \in S\)、つまり、\(g = f_2 (g') = g'^{-1}\)、がある、それが意味するのは、\(g' = {g'^{-1}}^{-1} = g^{-1}\)、それが意味するのは、\(g^{-1} \in S\)、それが意味するのは、\(g \in S^{-1}\)。

したがって、\(S^{-1} = f_2 (S)\)。

ステップ2:

\({S^{-1}}^{-1} = f_2 \circ f_2 (S)\)、ステップ1によって。

しかし、\(f_2 \circ f_2 = id\)であるから、\(= id (S) = S\)。


参考資料


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