トポロジカルスペース（空間）、サブスペース（部分空間）のサブセット（部分集合）に対して、サブセット（部分集合）のサブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）はサブセット（部分集合）のベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）に包含されていることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）、任意のサブスペース（部分空間）の任意のサブセット（部分集合）に対して、当該サブセット（部分集合）の当該サブスペース（部分空間）上のクロージャー（閉包）は当該サブセット（部分集合）の当該ベーススペース（空間）上のクロージャー（閉包）に包含されているという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T'\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T\): \(\in \{T' \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(S\): \(\subseteq T\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\overline{S}^T \subseteq \overline{S}^{T'}\)、ここで、\(\overline{S}^T\)は\(S\)の\(T\)上のクロージャー（閉包）であり、\(\overline{S}^{T'}\)は\(S\)の\(T'\)上のクロージャー（閉包）である
//
2: 注
当該等号は必ずしも成立しない。
例えば、\(T' = \mathbb{R}\)をユークリディアントポロジーを持つもの、\(T = (-1, 1)\)、\(S = (-1, 1)\)としよう、すると、\(\overline{S}^T = (-1, 1) \subset [-1, 1] = \overline{S}^{T'}\)。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(S \subseteq \overline{S}^{T'} \cap T\)であり、\(\overline{S}^{T'} \cap T\)は\(T\)上でクローズド（閉）であることを見、\(\overline{S}^T \subseteq \overline{S}^{T'} \cap T \subseteq \overline{S}^{T'}\)であることを見る。
ステップ1:
\(S \subseteq \overline{S}^{T'}\)。
\(S \subseteq T\)であるから、\(S \subseteq \overline{S}^{T'} \cap T\)。
\(\overline{S}^{T'}\)は\(T'\)上でクローズド（閉）であるから、\(\overline{S}^{T'} \cap T\)は\(T\)上でクローズド（閉）である、任意のトポロジカルサブスペース（部分空間）上の任意のサブセット（部分集合）はクローズド（閉）である、もしも、ベーススペース（空間）上のあるクローズドセット（閉集合）であってそれの当該サブスペース（部分空間）とのインターセクション（共通集合）が当該サブセット（部分集合）であるものがある場合、そしてその場合に限って、という命題によって。
\(\overline{S}^T\)は、\(T\)の、\(S\)を包含する全てのクローズドサブセット（閉部分集合）たちのインターセクション（共通集合）であるから、\(\overline{S}^T \subseteq \overline{S}^{T'} \cap T\)。
しかし、\(\overline{S}^T \subseteq \overline{S}^{T'} \cap T \subseteq \overline{S}^{T'}\)。
