オープンマップ（開写像）のコドメインエクステンション（拡張）は必ずしもオープン（開）ではないことの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、あるオープンマップ（開写像）のあるコドメインエクステンション（拡張）は必ずしもオープン（開）ではないという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T'_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{T'_2 \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)
\(f\): \(: T_1 \to T_2\), \(\in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
\(f'\): \(: T_1 \to T'_2, t_1 \mapsto f (t_1)\)
//
ステートメント（言明）たち:
必ずしも以下ではない、つまり、\(f' \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: ある反例を見る。
ステップ1:
\(T_1 = [0, 1) \subseteq \mathbb{R}\)をユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(\mathbb{R}\)のトポロジカルサブスペース（部分空間）、ユークリディアントポロジカルスペース（空間）\(T'_2 = \mathbb{R}\)、\(T_2 = [0, 1) \subseteq T'_2\)、\(f = id\)としよう。
\(f\)はオープン（開）である、なぜなら、それはアイデンティティマップ（恒等写像）である。
しかし、\(f'\)はオープン（開）でない、なぜなら、\([0, 1) \subseteq T_1\)はオープン（開）であるところ、\(f' ([0, 1)) = [0, 1) \subseteq T'_2\)は\(T'_2\)上でオープン（開）でない。
3: 注
任意のオープンサブスペース（開部分空間）の中への任意のオープンマップ（開写像）のコドメインエクステンション（拡張）はオープン（開）であるという命題と比較のこと。
任意のオープンマップ（開写像）の任意のコドメインリストリクション（制限）はオープン（開）であるという命題と比較のこと。
