オープンマップ（開写像）のコドメインリストリクション（制限）はオープン（開）であることの記述/証明
話題
About: トポロジカルスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、オープンマップ（開写像）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルサブスペース（部分空間）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオープンマップ（開写像）の任意のコドメインリストリクション（制限）はオープン（開）であるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T_1\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(T'_2\): \(\in \{\text{ 全てのトポロジカルスペース（空間）たち }\}\)
\(f'\): \(: T_1 \to T'_2\), \(\in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
\(T_2\): \(\in \{T'_2 \text{ の全てのトポロジカルサブスペース（部分空間）たち }\}\)で、\(f' (T_1) \subseteq T_2\)を満たすもの
\(f\): \(: T_1 \to T_2, t_1 \mapsto f' (t_1)\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f \in \{\text{ 全てのオープンマップ（開写像）たち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: 各オープンサブセット（開部分集合）\(U_1 \subseteq T_1\)に対して、\(f (U_1) \subseteq T_2\)はオープン（開）であることを見る。
ステップ1:
\(U_1 \subseteq T_1\)を任意のオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(f' (U_1) \subseteq T'_2\)は\(T'_2\)のオープンサブセット（開部分集合）である。
\(f (U_1) = f' (U_1) = f' (U_1) \cap T_2\)、それは、\(T_2\)上でオープン（開）である。
3: 注
あるオープンマップ（開写像）のあるコドメインエクステンション（拡張）は必ずしもオープン（開）ではないという命題と比較のこと。
