タイルたちで、その辺たちが右または下マップ（写像）たちであるものたちに対して、タイルたちの穴無しコンフィギュレーションはコミュータティブ（可換）である、もしも、各タイルはコミュータティブ（可換）である場合、そして、その場合に限って、ことの記述/証明
話題
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マップ（写像）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のタイルたちで、その辺たちが任意の右または下マップ（写像）たちであるものたちに対して、当該タイルたちの任意の穴無しコンフィギュレーションはコミュータティブ（可換）である、もしも、各タイルはコミュータティブ（可換）である場合、そして、その場合に限って、という命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(\{T^j_l\}\): ここで、\(T^j_l\)は、タイルで、その左上、右上、左下、右下頂点たちは任意のセット（集合）たち\(S^j_l, S^j_{l + 1}, S^{j + 1}_l, S^{j + 1}_{l + 1}\)に対応し、その上、下、左、右辺たちは任意のマップ（写像）たち\(r^j_l: S^j_l \to S^j_{l + 1}, r^{j + 1}_l: S^{j + 1}_l \to S^{j + 1}_{l + 1}, d^j_l: S^j_l \to S^{j + 1}_l, d^j_{l + 1}: S^j_{l + 1} \to S^{j + 1}_{l + 1}\)に対応し、\(\{T^j_l\}\)は必ずしも長方形ではないが、穴無しである
//
ステートメント（言明）たち:
\(\{T^j_l\}\)はコミュータティブ（可換）である
\(\iff\)
\(\forall T^j_l \in \{T^j_l\} (T^j_l \text{ はコミュータティブ（可換）である })\)
//
ここで、"穴無し"が意味するのは、頂点たちの任意のマップ（写像）接続された順序付きペアに対して、任意のパスは連続的に変形して標準パス（それが意味するのは、当該パス上の各頂点において、当該パスは、もしも可能であれば右に行くということ）にできるということ。本命題は、"穴無し"が幾何学的な穴無しに等しいとは、特に主張もせず証明もしない。
"コミュータティブ（可換）"であることが意味するのは、頂点たちの各マップ（写像）接続された順序付きペアに対して、全ての可能なマップ（写像）たちが同じであること。\((S^j_l, S^{j + 1}_{l + 1})\)ペアに対しては、それが意味するのは、\(d^j_{l + 1} \circ r^j_l = r^{j + 1}_l \circ d^{j, l}\)。
\((S^{j + 1}_{l + 1}, S^j_l)\)ペア（それだけではないが）はマップ（写像）接続されていない、なぜなら、\(S^{j + 1}_{l + 1}\)を\(S^j_l\)の中へマップするいかなるマップ（写像）もない: 左または上マップ（写像）はない。
2: 注
本命題は、言葉で表現するのは難しいが、グラフィカルには、特に難しくない。
1つの典型的なコンフィギュレーションは、\(m \times n\)タイルたちを持つ長方形である。実のところ、非長方形ケースに対する直近の必要性を私たちは見ておらず、非長方形ケースたちを除外しないのは、"念のため"にである。
ここで、"穴無し"は一般的にチェックするのは容易でないように思われるかもしれないが、任意の長方形コンフィギュレーションは間違い無く穴無しであり、ほとんどの実際的なケースたちは穴無しであることが明らかであろう。
本命題に対するモチベーションは、あるダイアグラムのコミュータティビティ（可換性）をチェックする必要がある時、全ての可能なパスたちをチェックする必要があるのか？
3: 証明
全体戦略: ステップ1: もしも、\(\{T^j_l\}\)はコミュータティブ（可換）である場合、各\(T^j_l\)はコミュータティブ（可換）であることを見る; ステップ2: 頂点たちの各マップ（写像）接続された順序付きペアに対して、標準パスを選ぶ; ステップ3: 各パスのマップ（写像）は標準パスのマップ（写像）に等しいことを見る。
ステップ1:
もしも、\(\{T^j_l\}\)はコミュータティブ（可換）である場合、各\(T^j_l\)はコミュータティブ（可換）である、なぜなら、それは、頂点たちのマップ（写像）接続された順序付きペアが単一の\(T^j_l\)上にあるという特殊ケースにすぎない。
ステップ2:
\((S^j_l, S^m_n)\)を頂点たちの任意のマップ（写像）接続された順序付きペアとしよう。
\(S^j_l\)を\(S^m_n\)の中へマップする全てのパスたちの中から、ユニークな標準パスを選ぼう。
\(S^j_l\)から開始して、任意のパス上の各頂点において、当該パスを、もしも、可能であれば、1個右へ行かせ、もしも、可能でなければ、1個下へ行かせよう: "可能"が意味するのは、当該パスは、もしも、当該頂点において1個右へ行った場合、目的地に到着するオプションを持ち続ける、ということであり、目的地に到着するオプションを持ち続けるかどうかの考慮無しにとにかく右に行けるということを意味しない。
そのルールは、標準パスをユニークに決定する、なぜなら、各頂点において、それが1個右へ行けるかどうかはユニークに決定される。
例えば、当該コンフィギュレーションが長方形である時は、当該パスは、\(S^j_l\)から\(S^j_n\)へ真っ直ぐに右へ行き、\(S^m_n\)へ真っ直ぐに下へ行く; 当該コンフィギュレーションが長方形でない時は、当該パスは、それほど明快ではないかもしれない（当該パスは、\(S^j_n\)へ真っ直ぐに右へ行けないかもしれない、なぜなら、そうしたパスはないかもしれないし、もしも、そうしたパスがある場合も、\(S^j_n\)から\(S^m_n\))への真っ直ぐに下へ行くパスがないかもしれない。
ステップ3:
各可能なパスのマップ（写像）が標準パスのマップ（写像）に等しければ、本命題は成立するであろう、したがって、そのことを見よう。
\(\lambda\)を任意の可能なパスとしよう。
\(\lambda\)が標準パスに等しい時、\(\lambda\)のマップ（写像）は標準パスのマップ（写像）に等しい。
\(\lambda\)は標準パスに等しくないと仮定しよう。
それが意味するのは、\(\lambda\)は、1個右へ行くことが可能な箇所で1個下へ行くということ。
\(\lambda\)は、この行われなかった1個右を、後ほどある頂点において取る。
当該パスのその部分は、L-字形の下-右である。
そのL-字形は、あるタイルの左辺-下辺である: その保証が、"穴無し"の仮定である。
当該タイルはコミュータティブ（可換）であるから、当該L-字形は、当該タイルの上辺-右辺で置き換えることが可能である。
したがって、当該パスは、上右方向へ変形できる。
もしも、当該新パスが標準パスに等しければ、完了である。
そうでなければ、当該新パスは、同様に上右方向へ変形できる。
等々と続ける。このプロセスは永久に続くことはない、なぜなら、当該パスは上右方向へ変形され続けるが、標準パスを超えることはできない、したがって、それは、そのうちに、標準パスに等しくなる。
