マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のリアル（実）パラメータによるデリベイション（微分）はライプニッツルールを満たすことの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義を知っている。
- 読者は、ファイナイト（有限）ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）内のベクトルたちのリアル（実）-1-パラメータファミリーのデリバティブ（微分係数）の定義を知っている。
- 読者は、トポロジカルスペース（空間）マイナスポイントからトポロジカルスペース（空間）の中へのマップ（写像）のポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）の定義を知っている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を認めている。
- 読者は、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、任意のコンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちの当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を認めている。
- 読者は、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のマルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の任意のリアル（実）パラメータによるデリベイション（微分）はライプニッツルールを満たすという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(T\): \(= (r_1, r_2) \subseteq \mathbb{R}\)で、\(\mathbb{R}\)をユークリディアントポロジカルスペース（空間）としたサブスペース（部分空間）トポロジーを持つもの
\(r\): \(\in T\)
\(V\): \(\in \{\text{ 全てのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元） } \mathbb{R} \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(\Lambda_{k_1} (V: \mathbb{R})\): \(= \text{ 当該 } k_1 \text{ -コベクトルたちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(\Lambda_{k_2} (V: \mathbb{R})\): \(= \text{ 当該 } k_2 \text{ -コベクトルたちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(t^1\): \(: T \to \Lambda_{k_1} (V: \mathbb{R})\)
\(t^2\): \(: T \to \Lambda_{k_2} (V: \mathbb{R})\)
\(\Lambda_{k_1 + k_2} (V: \mathbb{R})\): \(= \text{ 当該 } (k_1 + k_2) \text{ コベクトルたちスペース（空間） }\)で、カノニカル（正典）トポロジーを持つもの
\(t^1 \wedge t^2\): \(: T \to \Lambda_{k_1 + k_2} (V: \mathbb{R})\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\exists d t^1 / d r \land \exists d t^2 / d r\)
\(\implies\)
\(\exists d (t^1 \wedge t^2) / d r \land d (t^1 \wedge t^2) / d r = d t^1 / d r \wedge t^2 (r) + t^1 (r) \wedge d t^2 / d r\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(V\)に対して、任意のベーシス（基底）\(\{b_m\}\)を取り、\(\Lambda_{k_1} (V: \mathbb{R})\)および\(\Lambda_{k_2} (V: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）たち\(B_1\)および\(B_2\)を取る; ステップ2: \(t^1 (r')\)および\(t^2 (r')\)を当該ベーシス（基底）たちで表現し、\(t^1 (r') \wedge t^2 (r')\)を\(t^1 (r')\)および\(t^2 (r')\)の表現たちを用いて展開する; ステップ3: \(d (t^1 \wedge t^2) / d r = lim_{r' \to r} (t^1 (r') \wedge t^2 (r') - t^1 (r) \wedge t^2 (r)) / (r' - r)\)を取り、任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題および任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、任意のコンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちの当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題を適用する。
ステップ1:
\(V\)に対して、任意のベーシス（基底）\(\{b_m\}\)を取ろう。
\(\Lambda_{k_1} (V: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）\(B_1 = \{b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}}\}\)を取ろう、それは、可能である、任意のベクトルたちスペース（空間）の\(q\)-コベクトルたちスペース（空間）は、ベーシス（基底）で当該ベクトルたちスペース（空間）のデュアルベーシス（基底）の昇順要素たちのウェッジプロダクト（楔積）たちからなるものを持つという命題によって。
\(\Lambda_{k_2} (V: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）\(B_2 = \{b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_2}}\}\)を取ろう、それは可能である、同様に。
\(\Lambda_{k_1 + k_2} (V: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）\(B = \{b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1 + k_2}}\}\)を取ろう、それは可能である、同様に。
ステップ2:
\(t^1 (r') = t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r') b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}}\)。
\(t^2 (r') = t^2_{m_1, ..., m_{k_2}} (r') b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_2}}\)。
したがって、\(t^1 (r') \wedge t^2 (r') = (t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r') b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}}) \wedge (t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r') b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}})\)。
マルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）の定義に対する"注"内に言及されているマルチコベクトルたちのウェッジプロダクト（楔積）のあるプロパティによって、\(= t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r') t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r') b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}}\)、それは、本当には、\(t^1 (r') \wedge t^2 (r')\)の、\(\Lambda_{k_1 + k_2} (V: \mathbb{R})\)に対するスタンダード（標準）ベーシス（基底）に関する展開ではない、なぜなら、\(b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}}\)は必ずしもインデックスたちの昇順にない、しかし、いずれにせよ、それは、コンスタントベクトルたちによる展開である。
ステップ3:
\(d (t^1 \wedge t^2) / d r = lim_{r' \to r} (t^1 (r') \wedge t^2 (r') - t^1 (r) \wedge t^2 (r)) / (r' - r)\)。
\(= lim_{r' \to r} (t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r') t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r') b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}} - t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r) t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}}) / (r' - r) = lim_{r' \to r} (t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r') t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r') - t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r) t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r)) / (r' - r) b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}}\)。
任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、当該コンポーネントマップ（写像）たち（任意のベーシス（基底）に関して）の当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、そしてその場合に限って、そして、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって、\(d t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} / d r = lim_{r' \to r} (t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r') - t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r)) / (r' - r)\)および\(d t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} / d r = lim_{r' \to r} (t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r') - t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r))/ (r' - r)\)は存在する。
リアル（実）解析学におけるよく知られている事実によって、\(d (t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r) t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r)) / d r = lim_{r' \to r} (t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r') t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r') - t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} (r) t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r)) / (r' - r)\)は存在し、\(d t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} / d r t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) + t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} d t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) / d r\)に等しい。
任意のトポロジカルスペース（空間）マイナス任意のポイントから任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）ベクトルたちスペース（空間）でカノニカル（正典）トポロジーを持つものの中への任意のマップ（写像）に対して、当該マップ（写像）の、当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）は存在する、もしも、任意のコンスタントベクトルたちに関するコエフィシェント（係数）たちの当該ポイントに関するコンバージェンス（収束ポイント）たちが存在する場合、その場合、当該コンバージェンス（収束ポイント）は当該コンバージェンス（収束ポイント）たちで表わされるという命題によって、\(d (t^1 \wedge t^2) / d r = lim_{r' \to r} (t^1 (r') \wedge t^2 (r') - t^1 (r) \wedge t^2 (r)) / (r' - r)\)は存在し、\((d t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} / d r t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) + t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} d t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) / d r) b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}}\)に等しい。
\(= d t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} / d r t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}} + t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} d t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) / d r b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}}= d t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} / d r b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}} + t^1_{m_1, ..., m_{k_1}} b^{m_1} \wedge ... \wedge b^{m_{k_1}} \wedge d t^2_{n_1, ..., n_{k_2}} (r) / d r \wedge b^{n_1} \wedge ... \wedge b^{n_{k_2}} = d t^1 / d r \wedge t^2 (r) + t^1 (r) \wedge d t^2 / d r\)。
