アンチシンメトリック（反対称）-テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、アンチシンメトリック（反対称）-テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( \Lambda_k (V: W)\): \(= \text{ 当該 } k \text{ -アンチシンメトリック（反対称）-テンソルたちスペース（空間） }\)
\( \Lambda_{k - 1} (V: W)\): \(= \text{ 当該 } k - 1 \text{ -アンチシンメトリック（反対称）-テンソルたちスペース（空間） }\)
\( v\): \(\in V\)
\(*i_v\): \(: \Lambda_k (V: W) \to \Lambda_{k - 1} (V: W), t (\bullet) \mapsto t (v, \bullet)\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
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コンディションたち:
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2: 注
\(i_v\)は本当に\(\Lambda_{k - 1} (V: W)\)の中へのものであることを見よう。
\(i_v (t): V_2 \times ... \times V_k \to W\)。
\(i_v (t) (v_2, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) = t (v, v_2, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) = r t (v, v_2, ..., v_j, ..., v_k) + r' t (v, v_2, ..., v'_j, ..., v_k) = r i_v (t) (v_2, ..., v_j, ..., v_k) + r' i_v (t) (v_2, ..., v'_j, ..., v_k)\)。
したがって、\(i_v (t) \in L (V, ..., V: W)\)。
\((2, ..., k)\)の任意のパーミュテーション（並べ替え）\(\sigma\)に対して、\(i_v (t) (v_{\sigma_2}, ..., v_{\sigma_k}) = t (v, v_{\sigma_2}, ..., v_{\sigma_k}) = sgn \sigma' t (v, v_2, ..., v_k)\)、ここで、\(\sigma'\)は、\((1, ..., k)\)のパーミュテーション（並び替え）で\(1\)を固定し\((2, ..., k)\)を\(\sigma\)によってパーミュテート（並び替え）するものである、しかし、\(sgn \sigma' = sgn \sigma\)、したがって、\(= sgn \sigma t (v, v_2, ..., v_k) = sgn \sigma i_v (t) (v_2, ..., v_k)\)、それが意味するのは、\(i_v (t) \in \Lambda_{k - 1} (V: W)\)。
\(i_v\)は本当に\(F\)リニア（線形）マップ（写像）であることを見よう。
\((i_v (r t + r' t')) (v_2, ..., v_k) = (r t + r' t') (v, v_2, ..., v_k) = r t (v, v_2, ..., v_k) + r' t' (v, v_2, ..., v_k)\)。
\((r i_v (t) + r' i_v (t')) (v_2, ..., v_k) = (r i_v (t)) (v_2, ..., v_k) + (r' i_v (t')) (v_2, ..., v_k) = r (i_v (t)) (v_2, ..., v_k) + r' (i_v (t')) (v_2, ..., v_k) = r t (v, v_2, ..., v_k) + r' t' (v, v_2, ..., v_k) \)。
それが意味するのは、\(i_v (r t + r' t') = r i_v (t) + r' i_v (t')\)。
通常は、本概念は、\(W = F\)に対して使われる、しかし、\(W \neq F\)は、いかなる様相においても不妥当ではない。
