テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V_1, ..., V_k, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( L (V_1, ..., V_k: W)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\( L (V_2, ..., V_k: W)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)
\( v\): \(\in V_1\)
\(*i_v\): \(: L (V_1, ..., V_k: W) \to L (V_2, ..., V_k: W), t (\bullet) \mapsto t (v, \bullet)\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ リニア（線形）マップ（写像）たち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(i_v\)は本当に\(L (V_2, ..., V_k: W)\)の中へのものであることを見よう。
\(i_v (t): V_2 \times ... \times V_k \to W\)。
\(i_v (t) (v_2, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) = t (v, v_2, ..., r v_j + r' v'_j, ..., v_k) = r t (v, v_2, ..., v_j, ..., v_k) + r' t (v, v_2, ..., v'_j, ..., v_k) = r i_v (t) (v_2, ..., v_j, ..., v_k) + r' i_v (t) (v_2, ..., v'_j, ..., v_k)\)。
したがって、\(i_v (t) \in L (V_2, ..., V_k: W)\)。
\(i_v\)は本当に\(F\)リニア（線形）マップ（写像）であることを見よう。
\((i_v (r t + r' t')) (v_2, ..., v_k) = (r t + r' t') (v, v_2, ..., v_k) = r t (v, v_2, ..., v_k) + r' t' (v, v_2, ..., v_k)\)。
\((r i_v (t) + r' i_v (t')) (v_2, ..., v_k) = (r i_v (t)) (v_2, ..., v_k) + (r' i_v (t')) (v_2, ..., v_k) = r (i_v (t)) (v_2, ..., v_k) + r' (i_v (t')) (v_2, ..., v_k) = r t (v, v_2, ..., v_k) + r' t' (v, v_2, ..., v_k) \)。
それが意味するのは、\(i_v (r t + r' t') = r i_v (t) + r' i_v (t')\)。
通常は、アンチシンメトリック（反対称）-テンソルのベクトルによるインテリア（内部）マルチプリケーション（乗法）が使われる、しかし、本定義は、いかなる様相においても不妥当ではない。
