フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するアンチシンメトリック（反対称）テンソルたちスペース（空間）の定義
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、フィールド（体）、フィールド（体）上方の\(k\)個の同一ベクトルたちスペース（空間）たちおよびベクトルたちスペース（空間）に関するアンチシンメトリック（反対称）テンソルたちスペース（空間）の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( F\): \(\in \{\text{ 全てのフィールド（体）たち }\}\)
\( \{V, W\}\): \(\subseteq \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\( L (V, ..., V: W)\): \(= \text{ 当該テンソルたちスペース（空間） }\)、ここで、\(V\)は\(k\)回現われる
\(*\Lambda_k (V: W)\): \(= \{t \in L (V, ..., V: W) \vert t \in \{\text{ 全てのアンチシンメトリック（反対称）テンソルたち }\}\}\), \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
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コンディションたち:
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\(\Lambda_k (V: W)\)は、"\(V\)の\(W\)の中への\(k\)-アンチシンメトリック（反対称）テンソルたちスペース（空間）"と呼ばれる。
\(\Lambda_k (V) := \Lambda_k (V: F)\)は、"\(V\)の\(k\)-コベクトルたちスペース（空間）"と呼ばれる。
\(\Lambda_k (V)\)の任意の要素は、"\(k\)-コベクトル"と呼ばれる。
2: 注
アンチシンメトリック（反対称）であることが意味するのは、任意の\(\sigma \in S^k\)、ここで、\(S^k\)は\(k\)-シンメトリックグループ（対称群）、に対して、\(t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}) = sgn \sigma t (v_1, ..., v_k)\)であること。
全ての\(\{V_1, ..., V_k\}\)たちは同一の\(V\)であることが要求される、なぜなら、そうでなければ、\(t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})\)は意味をなさないだろう。
\(\Lambda_k (V: W)\)は本当に\(F\)ベクトルたちスペース（空間）であることを見よう。
1) 任意の要素たち\(t_1, t_2 \in \Lambda_k (V: W)\)に対して、\(t_1 + t_2 \in \Lambda_k (V: W)\)（アディション（加法）の下で閉じていること）: \(t_1 + t_2 \in L (V, ..., V: W)\)、なぜなら、\(t_j \in L (V, ..., V: W)\)であり、\(L (V, ..., V: W)\)は\(F\)ベクトルたちスペース（空間）である; \((t_1 + t_2) (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}) = t_1 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}) + t_2 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}) = sgn \sigma t_1 (v_1, ..., v_k) + sgn \sigma t_2 (v_1, ..., v_k) = sgn \sigma (t_1 (v_1, ..., v_k) + t_2 (v_1, ..., v_k)) = sgn \sigma (t_1 + t_2) (v_1, ..., v_k)\)。
2) 任意の要素たち\(t_1, t_2 \in \Lambda_k (V: W)\)に対して、\(t_1 + t_2 = t_2 + t_1\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)内で成立する。
3) 任意の要素たち\(t_1, t_2, t_3 \in \Lambda_k (V: W)\)に対して、\((t_1 + t_2) + t_3 = t_1 + (t_2 + t_3)\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)内で成立する。
4) 以下を満たすある0要素、\(0 \in \Lambda_k (V: W)\)、つまり、任意の\(t \in \Lambda_k (V: W)\)に対して、\(t + 0 = t\)、がある（0ベクトルの存在）: \(0\)マップ（写像）\(t_0 \in L (V, ..., V: W)\)は\(\Lambda_k (V: W)\)内にある、なぜなら、\(t_0 (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}) = 0 = sgn \sigma t_0 (v_1, ..., v_k)\)、そして、\(t + 0 = t\)は成立する、なぜなら、それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)上で成立する。
5) 任意の要素\(t \in \Lambda_k (V: W)\)に対して、以下を満たすあるあるインバース（逆）要素\(t' \in \Lambda_k (V: W)\)、つまり、\(t' + t = 0\)、がある（インバース（逆）ベクトルの存在: \(t' := - t \in L (V, ..., V: W)\); \((- t) (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}) = - (t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})) = - (sgn \sigma t (v_1, ..., v_k)) = sgn \sigma (- t (v_1, ..., v_k)) = sgn \sigma (- t) (v_1, ..., v_k)\)、したがって、\(- t \in \Lambda_k (V: W)\); \(- t + t = 0\)は成立する、なぜなら、それは、周囲\(L (V, ..., V: W)\)上で成立する。
6) 任意の要素\(t \in \Lambda_k (V: W)\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . t \in \Lambda_k (V: W)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）の下で閉じていること）: \(r . t \in L (V, ..., V: W)\); \(r . t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k}) = r (t (v_{\sigma_1}, ..., v_{\sigma_k})) = r (sgn \sigma t (v_1, ..., v_k)) = sgn \sigma r (t (v_1, ..., v_k)) = sgn \sigma (r . t) (v_1, ..., v_k)\)、それが意味するのは、\(r . t \in \Lambda_k (V: W)\)。
7) 任意の要素\(t \in \Lambda_k (V: W)\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 + r_2) . t = r_1 . t + r_2 . t\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)内で成立する。
8) 任意の要素たち\(t_1, t_2 \in \Lambda_k (V: W)\)、任意のスカラー\(r \in F\)に対して、\(r . (t_1 + t_2) = r . t_1 + r . t_2\)（ベクトルたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)内で成立する。
9) 任意の要素\(t \in \Lambda_k (V: W)\)、任意のスカラーたち\(r_1, r_2 \in F\)に対して、\((r_1 r_2) . t = r_1 . (r_2 . t)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)内で成立する。
10) 任意の要素\(t \in \Lambda_k (V: W)\)に対して、\(1 . t = t\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性 ））: それは、周囲\(L (V, ..., V; W)\)内で成立する。
