モジュール（加群）のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちの合計の定義
話題
About: モジュール（加群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、%リング（環）名%モジュール（加群）の定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、モジュール（加群）のファイナイト（有限）数のサブセット（部分集合）たちの合計の定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( R\): \(\in \{\text{ 全てのリング（環） }\}\)
\( M\): \(\in \{\text{ 全ての } R \text{ モジュール（加群）たち }\}\)
\( \{S_1, ..., S_n\}\): \(\subseteq Pow (M)\)
\(*S_1 + ... + S_n\): \(= \{m \in M \vert \exists m_1 \in S_1, ..., \exists m_n \in S_n (m = m_1 + ... + m_n)\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
典型的には（必ずしもではないが）、\(S_j\)たちはサブモジュール（部分加群）たちである。
\(S_j\)たちがサブモジュール（部分加群）たちである時、\(S_1 + ... + S_n\)はサブモジュール（部分加群）であることを見よう。
1) \(\forall m, m' \in S_1 + ... + S_n (m + m' \in S_1 + ... + S_n)\)（アディション（加法）下のクローズド（閉じている）性）: \(m = s_1 + ... + s_n\)および\(m' = s'_1 + ... + s'_n\)、そして、\(m + m' = s_1 + ... + s_n + s'_1 + ... + s'_n = (s_1 + s'_1) + ... + (s_n + s'_n)\)、しかし、\(s_j + s'_j \in S_j\)、なぜなら、\(S_j\)はサブモジュール（部分加群）である。
2) \(\forall m, m' \in S_1 + ... + S_n (m + m' = m' + m)\)（アディション（加法）のコミュータティビティ（可換性））: \(m = s_1 + ... + s_n\)および\(m' = s'_1 + ... + s'_n\)、そして、\(m + m' = s_1 + ... + s_n + s'_1 + ... + s'_n = s'_1 + ... + s'_n + s_1 + ... + s_n = m' + m\)。
3) \(\forall m, m', m'' \in S_1 + ... + S_n ((m + m') + m'' = m + (m' + m''))\)（アディション（加法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(m = s_1 + ... + s_n\)、\(m' = s'_1 + ... + s'_n\)、そして、\(m'' = s''_1 + ... + s''_n\), そして、\((m + m') + m'' = (s_1 + ... + s_n + s'_1 + ... + s'_n) + s''_1 + ... + s''_n = s_1 + ... + s_n + (s'_1 + ... + s'_n + s''_1 + ... + s''_n) = m + (m' + m'')\)。
4) \(\exists 0 \in S_1 + ... + S_n (\forall m \in S_1 + ... + S_n (m + 0 = m))\)（0要素の存在）: \(0 = 0 + ... + 0 \in S_1 + ... + S_n\)、ここで、\(0 \in S_j\)、なぜなら、\(S_j\)はサブモジュール（部分加群）である、そして、\(m + 0 = m\)。
5) \(\forall m \in S_1 + ... + S_n (\exists m' \in S_1 + ... + S_n (m' + m = 0))\)（インバース（逆）ベクトルの存在）: \(m = s_1 + ... + s_n\)、そして、\(m' := (- s_1) + ... + (- s_n) \in S_1 + ... + S_n\)、なぜなら、\(S_j\)はサブモジュール（部分加群）である、\(m' + m = (- s_1) + ... + (- s_n) + s_1 + ... + s_n = 0\)。
6) \(\forall m \in S_1 + ... + S_n, \forall r \in R (r . m \in S_1 + ... + S_n)\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）下のクローズド（閉じている）性）: \(m = s_1 + ... + s_n\)、そして、\(r . m = r (s_1 + ... + s_n) = r s_1 + ... + r s_n \in S_1 + ... + S_n\)、なぜなら、\(S_j\)はサブモジュール（部分加群）である、そして、\(r s_j \in S_j\)。
7) \(\forall m \in S_1 + ... + S_n, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 + r_2) . m = r_1 . m + r_2 . m)\)（スカラーたちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーション（乗法）ディストリビュータビリティ（分配性））: \(m = s_1 + ... + s_n\)、\((r_1 + r_2) . m = (r_1 + r_2) . (s_1 + ... + s_n) = r_1 (s_1 + ... + s_n) + r_2 (s_1 + ... + s_n) = r_1 . m + r_2 . m\)。
8) \(\forall m, m' \in S_1 + ... + S_n, \forall r \in R (r . (m + m') = r . m + r . m')\)（要素たちアディション（加法）に対するスカラーマルチプリケーションディストリビュータビリティ（分配性））: \(m = s_1 + ... + s_n\)および\(m' = s'_1 + ... + s'_n\)、そして、\(r . (m + m') = r (s_1 + ... + s_n + s'_1 + ... + s'_n) = r (s_1 + ... + s_n) + r (s'_1 + ... + s'_n) = r . m + r . m'\)。
9) \(\forall m \in S_1 + ... + S_n, \forall r_1, r_2 \in R ((r_1 r_2) . m = r_1 . (r_2 . m))\)（スカラーマルチプリケーション（乗法）たちのアソシアティビティ（結合性））: \(m = s_1 + ... + s_n\)、そして、\((r_1 r_2) . m = (r_1 r_2) (s_1 + ... + s_n) = r_1 (r_2 (s_1 + ... + s_n)) = r_1 . (r_2 . m)\)。
10) \(\forall m \in S_1 + ... + S_n (1 . m = m)\)（1マルチプリケーション（乗法）のアイデンティティ（恒等性））: \(m = s_1 + ... + s_n\)、そして、\(1 . m = 1 (s_1 + ... + s_n) = s_1 + ... + s_n = m\)。
