オリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、からコネクテッド（連結された）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の上への2-シートたち持ち\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）に対して、コドメイン（余域）の各イーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）に対して、マップ（写像）の2個のリストリクション（制限）たちは、オープンサブセット（開部分集合）上に統一して同じか異なるオリエンテーションたちをインデュース（誘導）することの記述/証明
話題
About: \(C^\infty\)マニフォールド（多様体）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）の定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）および\(C^\infty\)ローカルトリビアライゼーションの定義を知っている。
- 読者は、\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、のオリエンテーションの定義を知っている。
- 読者は、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題を認めている。
- 読者は、任意のオリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のローカルディフェオモーフィズムは、各コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるという命題を認めている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のオリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、から任意のコネクテッド（連結された）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、の上への任意の2-シートたち持ち\(C^\infty\)カバリングマップ（写像）に対して、当該コドメイン（余域）の各イーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）に対して、当該マップ（写像）の2個のリストリクション（制限）たちは、当該オープンサブセット（開部分集合）上に統一して同じか異なるオリエンテーションたちをインデュース（誘導）するという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(M_1\): \(\in \{\text{ 全てのオリエンテッド（方向付けされた） } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(M_2\): \(\in \{\text{ 全てのコネクテッド（連結された） } d \text{ -ディメンショナル（次元） } C^\infty \text{ マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち }\}\)
\(\pi\): \(: M_1 \to M_2\), \(\in \{\text{ 全ての2-シートたち持ち } C^\infty \text{ カバリングマップ（写像）たち }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\forall U \in \{M_2 \text{ の全てのイーブンにカバーされたオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \cap \{M_2 \text{ の全ての } C^\infty \text{ トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_1} \text{ によってインデュースト（誘導された）オリエンテーション } = \pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_2} \text{ によってインデュースト（誘導された）オリエンテーション })\)、ここで、\({\pi}^{-1} (U)_1\)および\({\pi}^{-1} (U)_2\)は\(U\)の2個のシートたちを表わす
\(\lor\)
\(\forall U \in \{M_2 \text{ の全てのイーブンにカバーされたオープンサブセット（開部分集合）たち }\} \cap \{M_2 \text{ の全ての } C^\infty \text{ トリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たち }\} (\pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_1} \text{ によってインデュースト（誘導された）オリエンテーション } \neq \pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_2} \text{ によってインデュースト（誘導された）オリエンテーション })\)、ここで、\({\pi}^{-1} (U)_1\)および\({\pi}^{-1} (U)_2\)は\(U\)の2個のシートたちを表わす
//
2: 注
即座の系として、\(M_2\)はノンオリエンタブルである時、リストリクション（制限）たちの各ペアは異なるオリエンテーションたちをインデュース（誘導）する、なぜなら、そうでなければ、\(\pi\)は\(M_2\)上に\(M_1\)から整合したオリエンテーションをインデュース（誘導）することになる: \(M_2\)上の各ポイントには当該インデュースト（誘導された）オリエンテーションを与えることができることになり、各ポイントは、当該イーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上にあることになり、その上においてオリエンテーションたちは整合していることになる。
3: 証明
全体戦略: ステップ1: \(M_2\)の任意のオープンカバー（開被覆）でイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちを持つもの\(\{U_{m_j}\}\)を取る; ステップ2: \(\{U_{m_j}\}\)を2個のセット（集合）たちに分類する: \(\pi\)の2個のリストリクション（制限）たちは同じオリエンテーションをインデュース（誘導）するものたち\(\{V_{m_j}\}\)および\(\pi\)の2個のリストリクション（制限）たちは異なるオリエンテーションをインデュース（誘導）するものたち\(\{W_{m_l}\}\)、そして、それらの内の1は空であることを見る; ステップ3: \(\{W_{m_l}\}\)は空であると仮定し、各イーブンにカバーされたトリビアライジング\(U\)に対して、\(\{V_{m_j}\} \cup \{U\}\)は、\(M_2\)のオープンカバー（開被覆）でイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちを持つものであることを見、\(\pi\)の\(U\)に対する2個のリストリクション（制限）たちは同じオリエンテーションをインデュース（誘導）することを見る; \(\{V_{m_j}\}\)は空であると仮定し、各イーブンにカバーされたトリビアライジング\(U\)に対して、\(\{W_{m_l}\} \cup \{U\}\)は、\(M_2\)のオープンカバー（開被覆）でイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちを持つものであることを見、\(\pi\)の\(U\)に対する2個のリストリクション（制限）たちは異なるオリエンテーションたちをインデュース（誘導）することを見る。
ステップ1:
\(M_2\)の任意のオープンカバー（開被覆）でイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちを持つもの\(\{U_{m_j}\}\)を取ろう、それは可能である、なぜなら、各\(m \in M_2\)の周りに、あるイーブンにカバーされたオープンサブセット（開部分集合）およびあるトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）があり、それらのインターセクション（共通集合）を\(U_m\)と取ることができ、\(\{U_m \vert m \in M_2\}\)は、可能であれば削減して、それでも\(M_2\)をカバーするようにできる。
\(\pi^{-1} (U_{m_j})\)は2個のコネクテッド（連結された）コンポーネントたち\(\pi^{-1} (U_{m_j})_1\)および\(\pi^{-1} (U_{m_j})_2\)からなる。
\(\pi \vert_{\pi^{-1} (U_{m_j})_1}: \pi^{-1} (U_{m_j})_1 \to U_{m_j}\)および\(\pi \vert_{\pi^{-1} (U_{m_j})_2}: \pi^{-1} (U_{m_j})_2 \to U_{m_j}\)はディフェオモーフィズムたちである。
\(\pi \vert_{\pi^{-1} (U_{m_j})_1}\)は\(U_{m_j}\)上に\(\pi^{-1} (U_{m_j})_1\)上のオリエンテーションからオリエンテーションをインデュース（誘導）する; \(\pi \vert_{\pi^{-1} (U_{m_j})_2}\)は\(U_{m_j}\)上に\(\pi^{-1} (U_{m_j})_2\)上のオリエンテーションからオリエンテーションをインデュース（誘導）する。
\(U_{m_j}\)はトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）であるから、その上方にある\(C^\infty\)フレームがある、任意の\(C^\infty\)ベクトルたちバンドル（束）に対して、任意の\(C^\infty\)フレームは任意のトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）上方に、そしてその上方のみに存在するという命題によって、それは、\(U_{m_j}\)上方にある整合したオリエンテーションを定める。そこで、\(U_{m_j}\)に当該オリエンテーション\(o\)を与えよう。
すると、\(\pi \vert_{\pi^{-1} (U_{m_j})_1}\)は、オリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転である、任意のオリエンテッド（方向付けされた）\(C^\infty\)マニフォールド（多様体）、バウンダリー（境界）付き、たち間の任意のローカルディフェオモーフィズムは、各コネクテッド（連結された）サブスペース（部分空間）上方においてオリエンテーション-維持またはオリエンテーション-反転であるという命題によって。
それが意味するのは、\(\pi \vert_{\pi^{-1} (U_{m_j})_1}\)によって\(U_{m_j}\)上にインデュースト（誘導された）オリエンテーションは\(o\)または\(- o\)であるということ。
同様に、\(\pi \vert_{\pi^{-1} (U_{m_j})_2}\)によって\(U_{m_j}\)上にインデュースト（誘導された）オリエンテーションは\(o\)または\(- o\)である。
ステップ2:
\(\{U_{m_j}\}\)を2個のセット（集合）たちに分類しよう: \(\pi\)の2個のリストリクション（制限）たちが同じオリエンテーションをインデュース（誘導）するものたち\(\{V_{m_j}\}\)および\(\pi\)の2個のリストリクション（制限）たちが異なるオリエンテーションたち\(\{W_{m_l}\}\)をインデュース（誘導）するものたち。
それらの内のどれも空でなかったと仮定しよう。
ある\(V_{m_j}\)とある\(W_{m_l}\)のペアで\(V_{m_j} \cap W_{m_l} \neq \emptyset\)であるものがあることになる: そうでなければ、\(\cup \{V_{m_j}\} \cap \cup \{W_{m_l}\} = \emptyset\)（なぜなら、そうでなければ、\(p \in \cup \{V_{m_j}\} \cap \cup \{W_{m_l}\}\)、それは、\(p \in V_{m_j}\)および\(p \in W_{m_l}\)および\(p \in V_{m_j} \cap W_{m_l}\)を含意することになる）、\(\cup \{V_{m_j}\}\)および\(\cup \{W_{m_l}\}\)は\(M_2\)のオープンサブセット（開部分集合）であることになり、\(\cup \{V_{m_j}\} \cup \cup \{W_{m_l}\} = M_2\)、しかし、\(\cup \{V_{m_j}\} \neq \emptyset\)および\(\cup \{W_{m_l}\} \neq \emptyset\)、仮定によって、それは、\(M_2\)はコネクテッド（連結された）ではなかったことを意味することになる、矛盾。
\(p \in V_{m_j} \cap W_{m_l}\)を任意のものとしよう。\(\pi^{-1} (p)\)は2個のポイントたち\(p_1 \in \pi^{-1} (V_{m_j})_1\)および\(p_2 \in \pi^{-1} (V_{m_j})_2\)を持つことになる。\(p_1 \in \pi^{-1} (W_{m_l})_1\)および\(p_2 \in \pi^{-1} (W_{m_l})_2\)、一般性を失うことなく。\(p_1\)から\(p\)にインデュースト（誘導された）オリエンテーションを\(O\)としよう。\(p_2\)から\(p\)にインデュースト（誘導された）オリエンテーションは\(O\)であることになる（\(V_{m_j}\)の性質によって）、そして、\(- O\)であることになる（\(W_{m_l}\)の性質によって）、矛盾。
したがって、\(\{V_{m_j}\}\)と\(\{W_{m_l}\}\)の内の1個は空である。
ステップ3:
\(\{W_{m_l}\}\)は空であると仮定しよう。
\(U \subseteq M_2\)を任意のイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(\{V_{m_j}\} \cup \{U\}\)は、\(M_2\)のオープンカバー（開被覆）でイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちを持つものである。
ステップ2の結果によって、\(\pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_1}\)および\(\pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_1}\)は\(U\)上に同じオリエンテーションをインデュース（誘導）する: そうでなければ、\(\{V_{m_j}\} \cup \{U\}\)は空でない\(\{V_{m_j}\}\)および\(\{U\}\)に分類されることになる、矛盾。
\(\{V_{m_j}\}\)は空であると仮定しよう。
\(U \subseteq M_2\)を任意のイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）としよう。
\(\{W_{m_l}\} \cup \{U\}\)は\(M_2\)のオープンカバー（開被覆）でイーブンにカバーされたトリビアライジングオープンサブセット（開部分集合）たちを持つものである。
ステップ2の結果によって、\(\pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_1}\)および\(\pi \vert_{{\pi}^{-1} (U)_1}\)は\(U\)上に異なるオリエンテーションたちをインデュース（誘導）する: そうでなければ、\(\{W_{m_l}\} \cup \{U\}\)は空でない\(\{W_{m_l}\}\)および\(\{U\}\)に分類されることになる、矛盾。
