異なるグループ（群）右アクションたちに対して、対応するグループ（群）左アクションたちは異なることの記述/証明
話題
About: セット（集合）
About: グループ（群）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）右アクションに対応するグループ（群）左アクションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意の異なるグループ（群）右アクションたちに対して、対応するグループ（群）左アクションたちは異なるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(G\): \(\in \{ \text{ 全てのグループ（群）たち } \}\)
\(S\): \(\in \{ \text{ 全てのセット（集合）たち } \}\)
\(f_1\): \(: S \times G \to S\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）右アクションたち }\}\)
\(f_2\): \(: S \times G \to S\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）右アクションたち }\}\)
\(f'_1\): \(: G \times S \to S\), \(= f_1 \text{ に対応するグループ（群）左アクション }\}\)
\(f'_2\): \(: G \times S \to S\), \(= f_2 \text{ に対応するグループ（群）左アクション }\}\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(f_1 \neq f_2\)
\(\implies\)
\(f'_1 \neq f'_2\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(f'_1 = f'_2\)であると仮定し、\(f_1 = f_2\)であることを見る; ステップ2: 本命題を結論する。
ステップ1:
\(f'_1 = f'_2\)であると仮定しよう。
各\((g, s) \in G \times S\)に対して、\(f'_1 ((g, s)) = f'_2 ((g, s))\)。
それが意味するのは、\(f_1 ((s, g^{-1})) = f_2 ((s, g^{-1}))\)。
\((g^{-1}, s) \in G \times S\)であるから、\(f_1 ((s, {g^{-1}}^{-1})) = f_2 ((s, {g^{-1}}^{-1}))\)。
それが意味するのは、\(f_1 ((s, g)) = f_2 ((s, g))\)。
したがって、結局、各\((s, g) \in S \times G\)に対して、\(f_1 ((s, g)) = f_2 ((s, g))\)、それが意味するのは、\(f_1 = f_2\)。
ステップ2:
対偶として、もしも、\(f_1 \neq f_2\)である場合、\(f'_1 \neq f'_2\)。
