リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、ベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムであることの記述/証明
話題
About: ベクトルたちスペース（空間）
この記事の目次
開始コンテキスト
ターゲットコンテキスト
- 読者は、任意のリアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）を取り各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取るものはノルムであるという命題の記述および証明を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\(F\): \(\in \{\mathbb{R}, \mathbb{C}\}\)で、カノニカル（正典）フィールド（体）ストラクチャー（構造）を持つもの
\(V\): \(\in \{\text{ 全ての } F \text{ ベクトルたちスペース（空間）たち }\}\)
\(J\): \(\in \{\text{ 全てのアンカウンタブル（不可算）かもしれないインデックスセット（集合）たち }\}\)
\(B\): \(= \{b_j \vert j \in J\}\), \(\in \{\text{ に対する全てのベーシス（基底）たち } V\}\)
\(\Vert \bullet \Vert\): \(: V \to \mathbb{R}, v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_l} b_{j_l} \mapsto \vert v^{j_1} \vert + ... + \vert v^{j_l} \vert\)
//
ステートメント（言明）たち:
\(\Vert \bullet \Vert \in \{V \text{ 上の全てのノルムたち }\}\)
//
2: 証明
全体戦略: ステップ1: \(\Vert \bullet \Vert\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見る; ステップ2: \(\Vert \bullet \Vert\)はノルムであるためのコンディションたちを満たしていることを見る。
ステップ1:
\(\Vert \bullet \Vert\)はウェルデファインド（妥当に定義された）であることを見よう。
各\(v \in V\)に対して、分解で非ゼロコンポーネントたちを持つもの\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_l} b_{j_l}\)はユニークである（\(v = 0\)である時は、それは\(v = 0\)である）、任意のベーシス（基底）を持つ任意のモジュール（加群）に対して、任意の要素の当該ベーシス（基底）に関するコンポーネントたちセット（集合）はユニークであるという命題によって。
もしも、\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_l} b_{j_l}\)がいくつかのゼロコンポーネントたち項たちを持っている場合、当該ゼロコンポーネントたち項たちは結果に影響しない。
\(v = 0\)である時は、当該コンポーネントたちは不可避にゼロであり、したがって、\(\Vert v \Vert = 0\)。
\(v \neq 0\)である時、\(v = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_l} b_{j_l}\)は、非ゼロコンポーネントたちを持つユニークな分解プラスいくつかのゼロコンポーネントたち項たちであり、\(\vert v^{j_1} \vert + ... + \vert v^{j_l} \vert\)はユニークに決定される。
\(\vert v^{j_1} \vert + ... + \vert v^{j_l} \vert \in \mathbb{R}\)。
したがって、\(\Vert \bullet \Vert\)はウェルデファインド（妥当に定義された）である。
ステップ2:
\(\Vert \bullet \Vert\)はノルムであるためのコンディションたちを満たしていることを見よう。
\(v_1, v_2 \in V\)および\(r \in F\)を任意のものとしよう。
1) \((0 \le \Vert v_1 \Vert) \land ((0 = \Vert v_1 \Vert) \iff (v_1 = 0))\): \(\Vert v_1 \Vert = \Vert v_1^{j_1} b_{j_1} + ... + v_1^{j_l} b_{j_l} \Vert = \vert v_1^{j_1} \vert + ... + \vert v_1^{j_l} \vert\)、したがって、\(0 \le \Vert v_1 \Vert\); \(v_1 = 0\)である時、\(\Vert v_1 \Vert = 0\)、ステップ1内で見られたとおり、\(\Vert v_1 \Vert = 0\)である時、もしも、\(v_1 \neq 0\)であったら、\(v_1 = v^{j_1} b_{j_1} + ... + v^{j_l} b_{j_l}\)、いくつかの非ゼロコンポーネントたちを持って、そして、\(0 \lt \vert v^{j_1} \vert + ... + \vert v^{j_l} \vert\)、矛盾、したがって、\(v_1 = 0\)。
2) \(\Vert r v_1 \Vert = \vert r \vert \Vert v_1 \Vert\): \(\Vert r v_1 \Vert = \Vert r (v_1^{j_1} b_{j_1} + ... + v_1^{j_l} b_{j_l}) \Vert = \vert r v_1^{j_1} \vert + ... + \vert r v_1^{j_l} \vert = \vert r \vert \vert v_1^{j_1} \vert + ... + \vert r \vert \vert v_1^{j_l} \vert = \vert r \vert (\vert v_1^{j_1} \vert + ... + \vert v_1^{j_l} \vert) = \vert r \vert \Vert v_1 \Vert\)。
3) \(\Vert v_1 + v_2 \Vert \le \Vert v_1 \Vert + \Vert v_2 \Vert\): \(\Vert v_1 + v_2 \Vert = \Vert v_1^{m_1} b_{m_1} + ... + v_1^{m_n} b_{m_n} + v_2^{o_1} b_{o_1} + ... + v_2^{o_p} b_{o_p} \Vert\); ここで、\(\{b_{m_1}, ..., b_{m_n}\} = \{b_m \in B \vert m \in M\}\)および\(\{b_{o_1}, ..., b_{o_p}\} = \{b_o \in B \vert o \in O\}\)と表記する、すると、\(M \cap O\)は空でないかもしれない、そして、\(v_1^{m_1} b_{m_1} + ... + v_1^{m_n} b_{m_n} = \sum_{m \in M} v_1^m b_m = \sum_{m \in M \setminus O} v_1^m b_m + \sum_{m \in M \cap O} v_1^m b_m\)および\(v_2^{o_1} b_{o_1} + ... + v_2^{o_p} b_{o_p} = \sum_{o \in O} v_2^o b_o = \sum_{o \in O \setminus M} v_2^o b_o + \sum_{o \in O \cap M} v_2^o b_o\)、したがって、\(v_1^{m_1} b_{m_1} + ... + v_1^{m_n} b_{m_n} + v_2^{o_1} b_{o_1} + ... + v_2^{o_p} b_{o_p} = \sum_{m \in M \setminus O} v_1^m b_m + \sum_{m \in M \cap O} v_1^m b_m + \sum_{o \in O \setminus M} v_2^o b_o + \sum_{o \in O \cap M} v_2^o b_o = \sum_{m \in M \setminus O} v_1^m b_m + \sum_{o \in O \setminus M} v_2^o b_o + \sum_{m \in M \cap O} (v_1^m + v_2^m) b_m\)、そして、\(\Vert v_1 + v_2 \Vert = \sum_{m \in M \setminus O} \vert v_1^m \vert + \sum_{o \in O \setminus M} \vert v_2^o \vert + \sum_{m \in M \cap O} \vert v_1^m + v_2^m \vert \le \sum_{m \in M \setminus O} \vert v_1^m \vert + \sum_{o \in O \setminus M} \vert v_2^o \vert + \sum_{m \in M \cap O} (\vert v_1^m \vert + \vert v_2^m \vert) = \sum_{m \in M \setminus O} \vert v_1^m \vert + \sum_{m \in M \cap O} \vert v_1^m \vert + \sum_{o \in O \setminus M} \vert v_2^o \vert + \sum_{o \in M \cap O} \vert v_2^o \vert = \sum_{m \in M} \vert v_1^m \vert + \sum_{o \in O} \vert v_2^o \vert = \Vert v_1 \Vert + \Vert v_2 \Vert\)。
3: 注
したがって、私たちは、任意のファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）リアル（実）またはコンプレックス（複素）ベクトルたちスペース（空間）に対して、任意のベーシス（基底）を取り、各ベクトルに対して絶対コンポーネントたちの合計を取ることは、ノルムであるという命題を証明したが、そのファイナイト（有限）-ディメンショナル（次元）要求は実は不必要である。
