グループ（群）右アクションに対応するグループ（群）左アクションの定義
話題
About: グループ（群）
About: セット（集合）
この記事の目次
開始コンテキスト
- 読者は、グループ（群）左アクションの定義を知っている。
- 読者は、グループ（群）右アクションの定義を知っている。
ターゲットコンテキスト
- 読者は、グループ（群）右アクションに対応するグループ（群）左アクションの定義を得る。
オリエンテーション
本サイトにてこれまで議論された定義たちの一覧があります。
本サイトにてこれまで議論された命題たちの一覧があります。
本体
1: 構造化された記述
ここに'構造化された記述'のルールたちがある。
エンティティ（実体）たち:
\( G\): \(\in \{ \text{ 全てのグループ（群）たち } \}\)
\( S\): \(\in \{ \text{ 全てのセット（集合）たち } \}\)
\( f\): \(: S \times G \to S\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）右アクションたち }\}\)
\(*f'\): \(: G \times S \to S, (g, s) \mapsto f (s, g^{-1})\), \(\in \{\text{ 全てのグループ（群）左アクションたち }\}\)
//
コンディションたち:
//
2: 注
\(f'\)は本当にグループ（群）左アクションであることを見よう。
各\(g_1, g_2 \in G\)および各\(s \in S\)に対して、\(f' (g_2, f' (g_1, s)) = f' (g_2, f (s, {g_1}^{-1})) = f (f (s, {g_1}^{-1}), g_2^{-1}) = f (s, {g_1}^{-1} g_2^{-1}) = f (s, (g_2 g_1)^{-1}) = f' (g_2 g_1, s)\)。
各\(s \in S\)に対して、\(f' (1, s) = f (s, 1) = s\)。
注意として、\(f\)それ自体は、グループ（群）左アクションとみなすことはできない; 私たちは、\(f\)からグループ（群）左アクションを構成したのである: 'グループ（群）右アクション'は、単に\(G \times S\)の代わりに\(S \times G\)と表記するという問題ではない: \(f'': G \times S \to S, (g, s) \mapsto f (s, g)\)はグループ（群）左アクションではない、なぜなら、\(f'' (g_2, f'' (g_1, s)) = f'' (g_2, f (s, g_1)) = f (f (s, g_1), g_2) = f (s, g_1 g_2) = f'' (g_1 g_2, s)\)、それは\(f'' (g_2 g_1, s)\)に等しくない、一般に。
